Probabilidad con urnas y bolas: Teorema de la probabilidad total y Bayes

**(a) Calcula la probabilidad del suceso $R$ = “bola extraída roja” (5 puntos).** Primero definimos los sucesos fundamentales del experimento: - $U_1$: Elegir la primera urna. - $U_2$: Elegir la segunda urna. - $U_3$: Elegir la tercera urna. - $R$: Extraer una bola roja. - $A$: Extraer una bola azul. Como las urnas se eligen al azar, la probabilidad de elegir cualquier urna es la misma: $$P(U_1) = P(U_2) = P(U_3) = \frac{1}{3}$$ Analizamos el contenido de cada urna para obtener las probabilidades condicionadas: - Urna 1 (2 azules): $P(R|U_1) = 0$ y $P(A|U_1) = 1$. - Urna 2 (1 azul, 1 roja): $P(R|U_2) = \frac{1}{2}$ y $P(A|U_2) = \frac{1}{2}$. - Urna 3 (2 rojas): $P(R|U_3) = 1$ y $P(A|U_3) = 0$. Representamos la situación con un diagrama de árbol:

Para calcular la probabilidad de extraer una bola roja, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(R) = P(U_1) \cdot P(R|U_1) + P(U_2) \cdot P(R|U_2) + P(U_3) \cdot P(R|U_3)$$ Sustituimos los valores obtenidos anteriormente: $$P(R) = \left( \frac{1}{3} \cdot 0 \right) + \left( \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{3} \cdot 1 \right)$$ $$P(R) = 0 + \frac{1}{6} + \frac{1}{3}$$ Para sumar las fracciones, buscamos un denominador común: $$P(R) = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0.5$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso (en este caso $R$) puede ocurrir a través de varios caminos o causas mutuamente excluyentes (las urnas). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(R) = 0.5}$$

**(b) Si la bola extraída resulta que es roja, ¿cuál es la probabilidad de que la urna elegida haya sido la tercera? (5 puntos).** Nos piden la probabilidad de haber elegido la tercera urna sabiendo que la bola ha sido roja, es decir, $P(U_3|R)$. Aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(U_3|R) = \frac{P(U_3) \cdot P(R|U_3)}{P(R)}$$ Ya conocemos todos los valores necesarios: - $P(U_3) = \frac{1}{3}$ - $P(R|U_3) = 1$ - $P(R) = \frac{1}{2}$ (calculado en el apartado anterior) Sustituimos y operamos: $$P(U_3|R) = \frac{\frac{1}{3} \cdot 1}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}$$ Para dividir fracciones, multiplicamos en cruz: $$P(U_3|R) = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 1} = \frac{2}{3} \approx 0.6667$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes permite calcular probabilidades de las "causas" una vez que ya conocemos el "efecto" (la bola roja). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(U_3|R) = \frac{2}{3}}$$