Posición relativa de dos rectas en el espacio

**(a) Calcula un vector posición y un vector director de cada una. (4 puntos)** Para la recta (I), el vector director $\vec{v}_1$ se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales a los planos que la definen: $$\vec{n}_{1a} = (15, 12, -14), \quad \vec{n}_{1b} = (8, -1, -5)$$ $$\vec{v}_1 = \vec{n}_{1a} \times \vec{n}_{1b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 15 & 12 & -14 \\ 8 & -1 & -5 \end{vmatrix}$$ Calculamos por Sarrus: $$\vec{v}_1 = \mathbf{i} [12 \cdot (-5) - (-14) \cdot (-1)] - \mathbf{j} [15 \cdot (-5) - (-14) \cdot 8] + \mathbf{k} [15 \cdot (-1) - 12 \cdot 8]$$ $$\vec{v}_1 = \mathbf{i} [-60 - 14] - \mathbf{j} [-75 + 112] + \mathbf{k} [-15 - 96] = (-74, -37, -111)$$ Podemos simplificar el vector dividiendo por $-37$: $$\vec{v}_1 = (2, 1, 3)$$ Para el punto $P_1$, buscamos una solución particular del sistema. Si probamos con $z=1$: $$\begin{cases} 15x + 12y = -17 + 14 = -3 \\ 8x - y = 23 + 5 = 28 \implies y = 8x - 28 \end{cases}$$ Sustituyendo: $$15x + 12(8x - 28) = -3 \implies 15x + 96x - 336 = -3 \implies 111x = 333 \implies x = 3$$ $$y = 8(3) - 28 = 24 - 28 = -4$$ 💡 **Tip:** Para encontrar un punto en una recta dada como intersección de dos planos, puedes asignar un valor arbitrario a una de las coordenadas (como $z=0$ o $z=1$) y resolver el sistema resultante para las otras dos. ✅ **Resultado Recta (I):** $$\boxed{P_1(3, -4, 1), \quad \vec{v}_1(2, 1, 3)}$$

Repetimos el proceso para la recta (II). Los vectores normales son: $$\vec{n}_{2a} = (9, 5, -2), \quad \vec{n}_{2b} = (24, -2, -13)$$ $$\vec{v}_2 = \vec{n}_{2a} \times \vec{n}_{2b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 9 & 5 & -2 \\ 24 & -2 & -13 \end{vmatrix}$$ Calculamos: $$\vec{v}_2 = \mathbf{i} [-65 - 4] - \mathbf{j} [-117 - (-48)] + \mathbf{k} [-18 - 120] = (-69, 69, -138)$$ Simplificamos dividiendo por $-69$: $$\vec{v}_2 = (1, -1, 2)$$ Para el punto $P_2$, si probamos con $z=-1$: $$\begin{cases} 9x + 5y = 5 + 2(-1) = 3 \\ 24x - 2y = 67 + 13(-1) = 54 \implies 12x - y = 27 \implies y = 12x - 27 \end{cases}$$ Sustituyendo: $$9x + 5(12x - 27) = 3 \implies 9x + 60x - 135 = 3 \implies 69x = 138 \implies x = 2$$ $$y = 12(2) - 27 = 24 - 27 = -3$$ ✅ **Resultado Recta (II):** $$\boxed{P_2(2, -3, -1), \quad \vec{v}_2(1, -1, 2)}$$

**(b) Calcula la ecuación vectorial de cada una. (2 puntos)** La ecuación vectorial de una recta se define como $\vec{X} = P + \lambda \vec{v}$, donde $P$ es un punto de la recta y $\vec{v}$ su vector director. Para la recta (I): $$(x, y, z) = (3, -4, 1) + \lambda(2, 1, 3)$$ Para la recta (II): $$(x, y, z) = (2, -3, -1) + \mu(1, -1, 2)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que las letras $\lambda$ y $\mu$ son parámetros reales. Es conveniente usar letras distintas para cada recta si vas a trabajar con ellas simultáneamente. ✅ **Resultado:** $$\boxed{r_1: (x, y, z) = (3, -4, 1) + \lambda(2, 1, 3); \quad r_2: (x, y, z) = (2, -3, -1) + \mu(1, -1, 2)}$$

**(c) Calcula el rango de la matriz formada por los dos vectores directores y el vector diferencia de los dos vectores posición obtenidos. (2 puntos)** Primero, calculamos el vector diferencia entre los puntos $P_2$ y $P_1$: $$\vec{d} = \vec{P_1P_2} = P_2 - P_1 = (2 - 3, -3 - (-4), -1 - 1) = (-1, 1, -2)$$ Formamos la matriz $M$ con los vectores $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$ y $\vec{d}$: $$M = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante: $$\det(M) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & -2 \end{vmatrix}$$ $$\det(M) = [2(-1)(-2) + 1(1)(3) + (-1)(1)(2)] - [3(-1)(-1) + 2(1)(2) + (-2)(1)(1)]$$ $$\det(M) = [4 + 3 - 2] - [3 + 4 - 2] = 5 - 5 = 0$$ Como el determinante es $0$, el rango es menor que 3. Comprobamos si hay un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -2 - 1 = -3 \neq 0$$ Por lo tanto, el rango de la matriz es 2. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{rango}(M) = 2}$$

**(d) Del rango anterior, deduce la posición relativa de ambas rectas. (2 puntos)** Analizamos los resultados obtenidos: 1. El rango de la matriz formada solo por los vectores directores $\{\vec{v}_1, \vec{v}_2\}$ es **2**, ya que no son proporcionales ($\frac{2}{1} \neq \frac{1}{-1}$). Esto indica que las rectas **no son paralelas ni coincidentes**. 2. El rango de la matriz ampliada $M$ (que incluye al vector que une los puntos) es **2**. Cuando el rango de la matriz de los vectores directores es 2 y el rango de la matriz ampliada también es 2, significa que los tres vectores son coplanarios pero las rectas no son paralelas. Conclusión: Las rectas **se cortan en un punto**. 💡 **Tip:** En geometría 3D: - Rango $(\vec{v}_1, \vec{v}_2) = 1$ y Rango $(\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{P_1P_2}) = 1 \implies$ Coincidentes. - Rango $(\vec{v}_1, \vec{v}_2) = 1$ y Rango $(\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{P_1P_2}) = 2 \implies$ Paralelas. - Rango $(\vec{v}_1, \vec{v}_2) = 2$ y Rango $(\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{P_1P_2}) = 2 \implies$ Se cortan. - Rango $(\vec{v}_1, \vec{v}_2) = 2$ y Rango $(\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{P_1P_2}) = 3 \implies$ Se cruzan. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas son secantes (se cortan en un punto)}}$$