Estudio de función racional, fracciones simples e integración

**(a) Determina: el dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, las coordenadas de los máximos y mínimos y el $\lim_{x \to \pm\infty} f(x)$. (2 puntos)** Primero, analizamos el dominio. La función es $f(x) = \frac{1}{x^2 - 9}$. El dominio está formado por todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador: $$x^2 - 9 = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3$$ Por lo tanto, el dominio es **$D_f = \mathbb{R} \setminus \{-3, 3\}$**. Para los límites en el infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^2 - 9} = \frac{1}{\infty} = 0$$ Esto indica que existe una **asíntota horizontal en $y = 0$** tanto por la izquierda como por la derecha. 💡 **Tip:** Recuerda que en funciones racionales, si el grado del denominador es mayor que el del numerador, el límite en el infinito siempre es 0.

Para estudiar el crecimiento y decrecimiento, calculamos la derivada de $f(x) = (x^2 - 9)^{-1}$: $$f'(x) = -1 \cdot (x^2 - 9)^{-2} \cdot (2x) = \frac{-2x}{(x^2 - 9)^2}$$ Igualamos a cero para encontrar puntos críticos: $$\frac{-2x}{(x^2 - 9)^2} = 0 \implies -2x = 0 \implies x = 0$$ Estudiamos el signo de $f'(x)$ teniendo en cuenta que el denominador $(x^2 - 9)^2$ siempre es positivo en el dominio: $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, -3) & -3 & (-3, 0) & 0 & (0, 3) & 3 & (3, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & \n.e. & + & 0 & - & \n.e. & - \\ \hline f(x) & \nearrow & \n.e. & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \n.e. & \searrow \end{array}$$ - **Crecimiento:** $f(x)$ crece en $(-\infty, -3) \cup (-3, 0)$. - **Decrecimiento:** $f(x)$ decrece en $(0, 3) \cup (3, +\infty)$. En $x=0$ hay un máximo relativo. Calculamos su ordenada: $$f(0) = \frac{1}{0^2 - 9} = -\frac{1}{9}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo: } (0, -1/9)}$$

**(b) Haz un esbozo de la gráfica. (1 punto)** Para la gráfica tenemos en cuenta: 1. Asíntotas verticales en $x = -3$ y $x = 3$. 2. Asíntota horizontal $y = 0$. 3. Máximo en $(0, -1/9)$. 4. Simetría par, ya que $f(-x) = f(x)$. Utilizamos un interactivo para visualizar la función:

**(c) Obtén los valores de $A$ y $B$ para los cuales (3 puntos) $$f(x) = \frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x + 3}.$$** Igualamos la expresión original con la suma de fracciones: $$\frac{1}{(x-3)(x+3)} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x+3}$$ Multiplicamos ambos lados por el denominador común $(x-3)(x+3)$: $$1 = A(x+3) + B(x-3)$$ Para hallar $A$ y $B$, damos valores estratégicos a $x$: - Si **$x = 3$**: $$1 = A(3+3) + B(0) \implies 1 = 6A \implies A = \frac{1}{6}$$ - Si **$x = -3$**: $$1 = A(0) + B(-3-3) \implies 1 = -6B \implies B = -\frac{1}{6}$$ 💡 **Tip:** Este método se llama descomposición en fracciones simples y es fundamental para integrar funciones racionales.

**(d) Calcula el área de la región limitada por la gráfica de la función, el eje $OX$ y las rectas de ecuaciones $x = -2$ y $x = 2$. (4 puntos)** El área viene dada por la integral definida del valor absoluto de la función entre las rectas dadas: $$\text{Área} = \int_{-2}^{2} |f(x)| \, dx$$ En el intervalo $[-2, 2]$, el denominador $x^2-9$ es negativo, por lo que $f(x) < 0$. El área será: $$\text{Área} = \int_{-2}^{2} -f(x) \, dx = \int_{-2}^{2} \left( \frac{-1/6}{x-3} + \frac{1/6}{x+3} \right) dx$$ Calculamos la primitiva: $$F(x) = -\frac{1}{6}\ln|x-3| + \frac{1}{6}\ln|x+3| = \frac{1}{6}\ln\left|\frac{x+3}{x-3}\right|$$ Aplicamos la regla de **Barrow**: $$\left[ \frac{1}{6}\ln\left|\frac{x+3}{x-3}\right| \right]_{-2}^{2} = \left( \frac{1}{6}\ln\left|\frac{5}{-1}\right| \right) - \left( \frac{1}{6}\ln\left|\frac{1}{-5}\right| \right)$$ $$\text{Área} = \frac{1}{6}\ln(5) - \frac{1}{6}\ln(1/5)$$ Utilizando propiedades de los logaritmos ($\ln(1/5) = -\ln(5)$): $$\text{Área} = \frac{1}{6}\ln(5) - (-\frac{1}{6}\ln(5)) = \frac{2}{6}\ln(5) = \frac{1}{3}\ln(5) \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{1}{3}\ln(5) \approx 0.536 \text{ u}^2}$$