Ecuación matricial con parámetros e inversas

**(a) ¿Para qué valores del parámetro $a$ existe la matriz inversa de $M$? (1 punto)** Una matriz cuadrada $M$ tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|M| \neq 0$). Calculamos el determinante de $M = \begin{pmatrix} -1 & a \\ a & a \end{pmatrix}$: $$|M| = \begin{vmatrix} -1 & a \\ a & a \end{vmatrix} = (-1) \cdot a - (a) \cdot a = -a - a^2.$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$-a^2 - a = 0 \implies -a(a + 1) = 0.$$ Las soluciones son: - $a = 0$ - $a + 1 = 0 \implies a = -1$ 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz es regular (tiene inversa) si su determinante es no nulo. Si el determinante es cero, la matriz es singular. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Existe } M^{-1} \text{ para todo } a \in \mathbb{R} \setminus \{0, -1\}}$$

**(b) Calcula la matriz inversa de $M$. (3 puntos)** Para calcular la inversa $M^{-1}$, utilizamos la fórmula: $$M^{-1} = \frac{1}{|M|} \text{Adj}(M)^t$$ 1. **Determinante:** Ya sabemos que $|M| = -a^2 - a = -a(a+1)$. 2. **Matriz de adjuntos (cofactores):** - $A_{11} = +|a| = a$ - $A_{12} = -|a| = -a$ - $A_{21} = -|a| = -a$ - $A_{22} = +|-1| = -1$ $$\text{Adj}(M) = \begin{pmatrix} a & -a \\ -a & -1 \end{pmatrix}$$ 3. **Traspuesta de la adjunta:** $$\text{Adj}(M)^t = \begin{pmatrix} a & -a \\ -a & -1 \end{pmatrix}$$ 4. **Inversa:** $$M^{-1} = \frac{1}{-a^2 - a} \begin{pmatrix} a & -a \\ -a & -1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para matrices $2\times2$, la inversa se puede obtener rápidamente intercambiando los elementos de la diagonal principal, cambiando el signo de la secundaria y dividiendo por el determinante. ✅ **Resultado:** $$\boxed{M^{-1} = \frac{-1}{a^2 + a} \begin{pmatrix} a & -a \\ -a & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-1}{a+1} & \frac{1}{a+1} \\ \frac{1}{a+1} & \frac{1}{a^2+a} \end{pmatrix}}$$

**(c) Para $a = 2$, resuelve la ecuación matricial, si es posible. (3 puntos)** Primero, despejamos $X$ en la ecuación $M \cdot X + N = P$: $$M \cdot X = P - N$$ Como para $a=2$ existe inversa (pues $2 \neq 0$ y $2 \neq -1$): $$X = M^{-1} \cdot (P - N)$$ Calculamos $P - N$: $$P - N = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Calculamos $M^{-1}$ para $a=2$: $$|M| = -(2)^2 - 2 = -6$$ $$M^{-1} = \frac{1}{-6} \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/3 & 1/3 \\ 1/3 & 1/6 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos: $$X = \begin{pmatrix} -1/3 & 1/3 \\ 1/3 & 1/6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1/3) \cdot 2 + (1/3) \cdot 0 & (-1/3) \cdot 2 + (1/3) \cdot 0 \\ (1/3) \cdot 2 + (1/6) \cdot 0 & (1/3) \cdot 2 + (1/6) \cdot 0 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -2/3 & -2/3 \\ 2/3 & 2/3 \end{pmatrix}}$$

**(d) Para los valores de $a$ para los cuales existe la matriz inversa de $M$, resuelve la ecuación matricial. (3 puntos)** Utilizamos la expresión general despejada anteriormente: $X = M^{-1} \cdot (P - N)$. Sustituimos $M^{-1}$ (del apartado b) y la matriz diferencia $(P - N)$: $$X = \frac{1}{-a^2 - a} \begin{pmatrix} a & -a \\ -a & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto de matrices: $$\begin{pmatrix} a & -a \\ -a & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a & 2a \\ -2a & -2a \end{pmatrix}$$ Ahora multiplicamos por el escalar $\frac{1}{-a(a+1)}$: $$X = \frac{1}{-a(a+1)} \begin{pmatrix} 2a & 2a \\ -2a & -2a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2a}{-a(a+1)} & \frac{2a}{-a(a+1)} \\ \frac{-2a}{-a(a+1)} & \frac{-2a}{-a(a+1)} \end{pmatrix}$$ Simplificamos dividiendo entre $a$ (ya que $a \neq 0$): $$X = \begin{pmatrix} \frac{-2}{a+1} & \frac{-2}{a+1} \\ \frac{2}{a+1} & \frac{2}{a+1} \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Simplificar las expresiones algebraicas dentro de la matriz final ayuda a verificar que el resultado del apartado (c) sea coherente (si sustituyes $a=2$ obtienes $-2/3$ y $2/3$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} \frac{-2}{a+1} & \frac{-2}{a+1} \\ \frac{2}{a+1} & \frac{2}{a+1} \end{pmatrix}}$$