Probabilidad en una distribución normal

En primer lugar, definimos la variable aleatoria $X$ que representa el tiempo empleado en realizar el trabajo. Según el enunciado, $X$ sigue una distribución normal con los siguientes parámetros: - Media: $\mu = 20$ - Desviación típica: $\sigma = 4$ Por tanto, podemos escribir que: $$X \sim N(20, 4)$$ El objetivo es calcular la probabilidad de que el tiempo esté comprendido entre 16 y 26 minutos, es decir: $$P(16 \le X \le 26)$$ 💡 **Tip:** En una distribución normal $N(\mu, \sigma)$, el primer valor es la media y el segundo la desviación típica (a veces se indica la varianza $\sigma^2$, pero en Bachillerato solemos usar $\sigma$).

Para poder utilizar las tablas de la distribución normal estándar $N(0, 1)$, debemos realizar un cambio de variable llamado **tipificación**. La fórmula para pasar de $X$ a $Z$ es: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$ Aplicamos esta transformación a los límites de nuestro intervalo: - Para $x_1 = 16 \implies z_1 = \frac{16 - 20}{4} = \frac{-4}{4} = -1$ - Para $x_2 = 26 \implies z_2 = \frac{26 - 20}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$ Ahora, el problema se traduce a calcular la probabilidad en la normal estándar: $$P(16 \le X \le 26) = P(-1 \le Z \le 1.5)$$ 💡 **Tip:** La tipificación permite comparar cualquier distribución normal con la estándar $N(0, 1)$, cuyos valores están tabulados.

La probabilidad de que una variable esté en un intervalo $[a, b]$ se calcula restando las probabilidades acumuladas: $$P(-1 \le Z \le 1.5) = P(Z \le 1.5) - P(Z \le -1)$$ Como las tablas de la normal estándar solo suelen mostrar valores positivos de $Z$, debemos transformar $P(Z \le -1)$ usando la simetría de la campana de Gauss: $$P(Z \le -1) = P(Z \ge 1) = 1 - P(Z \le 1)$$ Sustituimos esto en nuestra expresión original: $$P(-1 \le Z \le 1.5) = P(Z \le 1.5) - [1 - P(Z \le 1)]$$ 💡 **Tip:** Recuerda que por simetría $P(Z \le -a) = 1 - P(Z \le a)$ para cualquier valor positivo $a$.

Buscamos los valores correspondientes en la tabla de la distribución normal $N(0, 1)$: - $P(Z \le 1.5) = 0.9332$ - $P(Z \le 1) = 0.8413$ Sustituimos los valores en la fórmula anterior: $$P(16 \le X \le 26) = 0.9332 - (1 - 0.8413)$$ $$P(16 \le X \le 26) = 0.9332 - 0.1587$$ $$P(16 \le X \le 26) = 0.7745$$ La probabilidad de que el trabajo se realice en un tiempo comprendido entre 16 y 26 minutos es del **77.45%**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P(16 \le X \le 26) = 0.7745}$$