Probabilidad de sucesos y eficacia de medicamentos

Primero, definimos los sucesos principales para identificar claramente la información del enunciado: - $M$: El paciente toma el **medicamento**. - $P$: El paciente toma el **placebo**. - $C$: El paciente **se cura**. - $\bar{C}$: El paciente **no se cura**. Datos conocidos: - Total de pacientes: $N = 250$. - Pacientes con medicamento: $n(M) = 150$. - Pacientes con placebo: $n(P) = 250 - 150 = 100$. - Porcentaje de curados en el grupo del medicamento: $80\%$. Calculamos el número de pacientes que tomaron el medicamento y se curaron: $$n(M \cap C) = 0,80 \cdot 150 = 120$$ De aquí deducimos los que tomaron el medicamento pero no se curaron: $$n(M \cap \bar{C}) = 150 - 120 = 30$$ 💡 **Tip:** Organizar los datos en una tabla de contingencia ayuda a visualizar qué datos faltan y qué se nos pide exactamente.

A partir de los datos calculados, planteamos la tabla. Aunque no conocemos el número exacto de curados con el placebo, veremos que no es necesario para resolver la pregunta. $$\begin{array}{c|cc|c} & C \text{ (Curado)} & \bar{C} \text{ (No curado)} & \text{Total} \\ \hline M \text{ (Medicamento)} & 120 & 30 & 150 \\ P \text{ (Placebo)} & x & 100 - x & 100 \\ \hline \text{Total} & 120+x & 130-x & 250 \end{array}$$ Donde $x$ representa el número de personas que se curaron tomando el placebo (dato no proporcionado).

El enunciado nos pide la probabilidad de que el paciente **tomara el placebo o no se curara**, es decir: $P(P \cup \bar{C})$. Podemos resolverlo de dos formas. **Método 1: Por el suceso contrario** El suceso contrario a "tomar el placebo o no curarse" es "tomar el medicamento y curarse". $$\overline{P \cup \bar{C}} = M \cap C$$ Calculamos la probabilidad del suceso contrario: $$P(M \cap C) = \frac{n(M \cap C)}{N} = \frac{120}{250} = 0,48$$ Entonces: $$P(P \cup \bar{C}) = 1 - P(M \cap C) = 1 - 0,48 = 0,52$$ **Método 2: Por la unión de sucesos** $$P(P \cup \bar{C}) = P(P) + P(\bar{C}) - P(P \cap \bar{C})$$ Sustituyendo con los valores de la tabla: $$P(P \cup \bar{C}) = \frac{100}{250} + \frac{130-x}{250} - \frac{100-x}{250}$$ $$P(P \cup \bar{C}) = \frac{100 + 130 - x - (100 - x)}{250} = \frac{130}{250} = 0,52$$ 💡 **Tip:** Siempre que te pidan la probabilidad de una unión "A o B", suele ser más rápido calcular el complementario si el suceso intersección de los contrarios es sencillo. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P(P \cup \bar{C}) = 0,52}$$