Posición relativa de dos rectas en el espacio

Para estudiar la posición relativa de dos rectas en el espacio, lo primero es extraer un punto y un vector director de cada una de ellas. Para la recta $r$ en forma continua: $r: \frac{x-3}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z+1}{-2}$ - Vector director: $\vec{v}_r = (2, -1, -2)$ - Punto: $P_r = (3, 0, -1)$ Para la recta $s$ en forma continua: $s: \frac{x}{1} = \frac{y+3}{4} = \frac{z+2}{3}$ - Vector director: $\vec{v}_s = (1, 4, 3)$ - Punto: $P_s = (0, -3, -2)$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la forma continua $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$, las coordenadas del vector director son los denominadores y las del punto son los valores que restan a $x$, $y$ y $z$.

Comprobamos si los vectores directores $\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$ son paralelos comparando sus componentes: $$\frac{2}{1} \neq \frac{-1}{4} \neq \frac{-2}{3}$$ Como sus componentes no son proporcionales, los vectores **no son paralelos**. Esto significa que las rectas o bien se cortan en un punto o bien se cruzan en el espacio. 💡 **Tip:** Si los vectores fueran proporcionales, las rectas serían paralelas o coincidentes.

Para decidir si se cortan o se cruzan, formamos el vector que une los puntos de ambas rectas, $\vec{P_rP_s}$: $$\vec{P_rP_s} = P_s - P_r = (0-3, -3-0, -2-(-1)) = (-3, -3, -1)$$ Ahora calculamos el determinante de la matriz formada por los tres vectores $\det(\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_rP_s})$: $$\begin{vmatrix} 2 & -1 & -2 \\ 1 & 4 & 3 \\ -3 & -3 & -1 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$= [2 \cdot 4 \cdot (-1) + (-1) \cdot 3 \cdot (-3) + (-2) \cdot 1 \cdot (-3)] - [(-2) \cdot 4 \cdot (-3) + 2 \cdot 3 \cdot (-3) + (-1) \cdot 1 \cdot (-1)]$$ $$= [-8 + 9 + 6] - [24 - 18 + 1]$$ $$= 7 - 7 = 0$$ Como el determinante es **cero**, los tres vectores son linealmente dependientes, lo que implica que las rectas son coplanarias. Al no ser paralelas, concluimos que **las rectas se cortan**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cortan en un punto}}$$

Para hallar el punto de corte, expresamos ambas rectas en ecuaciones paramétricas. Para $r$: $$\begin{cases} x = 3 + 2\lambda \\ y = -\lambda \\ z = -1 - 2\lambda \end{cases}$$ Para $s$: $$\begin{cases} x = \mu \\ y = -3 + 4\mu \\ z = -2 + 3\mu \end{cases}$$ Igualamos las coordenadas $x$ e $y$ para encontrar los parámetros: 1. $3 + 2\lambda = \mu$ 2. $-\lambda = -3 + 4\mu$ Sustituimos la ecuación 1 en la 2: $$-\lambda = -3 + 4(3 + 2\lambda) \implies -\lambda = -3 + 12 + 8\lambda$$ $$-9 = 9\lambda \implies \lambda = -1$$ Ahora calculamos $\mu$ usando la ecuación 1: $$\mu = 3 + 2(-1) = 1$$ Sustituimos $\lambda = -1$ en las ecuaciones de $r$ (o $\mu = 1$ en las de $s$): $$x = 3 + 2(-1) = 1$$ $$y = -(-1) = 1$$ $$z = -1 - 2(-1) = 1$$ Verificamos en $z$ para la recta $s$: $z = -2 + 3(1) = 1$. Coincide. ✅ **Resultado (punto de corte):** $$\boxed{P(1, 1, 1)}$$