Ecuación del plano por tres puntos y recta perpendicular

**a) Obtenga la ecuación implícita o general del plano que pasa por los puntos $A(3,0, -1), B(4,1,1)$ y $C(7,1,5)$.** Para definir un plano necesitamos un punto y dos vectores directores que no sean paralelos. Utilizaremos el punto $A$ y los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$: $$\vec{u} = \vec{AB} = B - A = (4-3, 1-0, 1-(-1)) = (1, 1, 2)$$ $$\vec{v} = \vec{AC} = C - A = (7-3, 1-0, 5-(-1)) = (4, 1, 6)$$ Comprobamos que no son proporcionales (paralelos): $$\frac{1}{4} \neq \frac{1}{1} \neq \frac{2}{6}$$ 💡 **Tip:** Un vector entre dos puntos $P_1(x_1, y_1, z_1)$ y $P_2(x_2, y_2, z_2)$ se calcula restando coordenadas: $\vec{P_1P_2} = (x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)$.

El vector normal al plano, $\vec{n}$, se obtiene mediante el producto vectorial de sus vectores directores $\vec{u}$ y $\vec{v}$: $$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 6 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante por la regla de Sarrus o por adjuntos de la primera fila: $$\vec{n} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 6 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 6 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n} = (6 - 2)\mathbf{i} - (6 - 8)\mathbf{j} + (1 - 4)\mathbf{k} = 4\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - 3\mathbf{k}$$ Por tanto, el vector normal es **$\vec{n} = (4, 2, -3)$**. 💡 **Tip:** El vector normal $\vec{n} = (A, B, C)$ proporciona los coeficientes de las variables en la ecuación general del plano $Ax + By + Cz + D = 0$.

La ecuación general del plano es de la forma $4x + 2y - 3z + D = 0$. Para hallar $D$, sustituimos las coordenadas del punto $A(3, 0, -1)$ en la ecuación: $$4(3) + 2(0) - 3(-1) + D = 0$$ $$12 + 0 + 3 + D = 0 \implies 15 + D = 0 \implies D = -15$$ Sustituyendo el valor de $D$ obtenemos la ecuación final: ✅ **Resultado (Ecuación del plano):** $$\boxed{4x + 2y - 3z - 15 = 0}$$

**b) Obtenga las ecuaciones paramétricas de la recta $r$ que es perpendicular al plano $\pi: 4x + 2y - 3z - 15 = 0$ y que pasa por el punto $P(-1, -2,2)$.** Si una recta $r$ es perpendicular a un plano $\pi$, el vector director de la recta ($\vec{v}_r$) debe tener la misma dirección que el vector normal del plano ($\vec{n}_\pi$). Dada la ecuación del plano $\pi: 4x + 2y - 3z - 15 = 0$, extraemos su vector normal: $$\vec{n}_\pi = (4, 2, -3)$$ Por tanto, tomamos como vector director de nuestra recta: $$\vec{v}_r = (4, 2, -3)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una recta es perpendicular a un plano, sus vectores son paralelos: $\vec{v}_r \parallel \vec{n}_\pi$.

Para escribir las ecuaciones paramétricas de la recta necesitamos el punto $P(-1, -2, 2)$ y el vector director $\vec{v}_r = (4, 2, -3)$. La estructura general es: $$\begin{cases} x = x_0 + v_1\lambda \\ y = y_0 + v_2\lambda \\ z = z_0 + v_3\lambda \end{cases}$$ Sustituyendo los datos: ✅ **Resultado (Ecuaciones paramétricas):** $$\boxed{r: \begin{cases} x = -1 + 4\lambda \\ y = -2 + 2\lambda \\ z = 2 - 3\lambda \end{cases} \quad \text{con } \lambda \in \mathbb{R}}$$