Continuidad, derivabilidad y cálculo integral

**a) Calcule los valores de $b$ y $c$ para que la función $f(x) = \begin{cases} e^{2x} & \text{si } x \le 0, \\ x^2 + bx + c & \text{si } x > 0 \end{cases}$ sea, primero continua, y luego derivable en $x = 0$.** Para que $f(x)$ sea continua en $x = 0$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función en dicho punto: 1. $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} e^{2x} = e^0 = 1$. 2. $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x^2 + bx + c) = 0^2 + b(0) + c = c$. 3. $f(0) = e^{2(0)} = 1$. Para que exista el límite y la función sea continua, imponemos $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x)$: $$1 = c$$ 💡 **Tip:** Una función definida a trozos es continua en un punto si el valor de la función coincide con el límite por la izquierda y por la derecha en dicho punto. ✅ **Resultado parcial (continuidad):** $$\boxed{c = 1}$$

Una vez garantizada la continuidad ($c=1$), estudiamos la derivabilidad. La función es derivable en $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ por ser composición de funciones elementales. Calculamos la derivada genérica para $x \neq 0$: $$f'(x) = \begin{cases} 2e^{2x} & \text{si } x < 0 \\ 2x + b & \text{si } x > 0 \end{cases}$$ Para que sea derivable en $x = 0$, las derivadas laterales deben ser iguales: 1. Derivada por la izquierda: $f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} 2e^{2x} = 2e^0 = 2$. 2. Derivada por la derecha: $f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} (2x + b) = 2(0) + b = b$. Igualamos ambas expresiones: $$2 = b$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función sea derivable en un punto, es condición necesaria que primero sea continua en él. ✅ **Resultado final apartado a):** $$\boxed{b = 2, \quad c = 1}$$

**b) Calcule $\int_1^2 x(\ln x - 1) dx$.** Primero hallamos la integral indefinida $I = \int x(\ln x - 1) dx = \int (x \ln x - x) dx$. Podemos separarla en dos integrales: $$I = \int x \ln x \, dx - \int x \, dx$$ Resolvemos $\int x \ln x \, dx$ por el método de **integración por partes**: Sea $u = \ln x \implies du = \frac{1}{x} dx$ Sea $dv = x \, dx \implies v = \frac{x^2}{2}$ Aplicando la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$: $$\int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{2} \int x \, dx$$ $$\int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4}$$ Ahora juntamos todo para obtener la primitiva $F(x)$: $$F(x) = \left( \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} \right) - \frac{x^2}{2} = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{3x^2}{4}$$ 💡 **Tip:** La regla mnemotécnica "ALPES" ayuda a elegir $u$: (A)rcos, (L)ogaritmos, (P)olinomios, (E)xponenciales, (S)enos/Cosenos.

Aplicamos la Regla de Barrow en el intervalo $[1, 2]$ para la primitiva $F(x) = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{3x^2}{4}$: $$\int_1^2 x(\ln x - 1) dx = F(2) - F(1)$$ Calculamos los valores: - $F(2) = \frac{2^2}{2} \ln 2 - \frac{3(2^2)}{4} = 2 \ln 2 - 3$ - $F(1) = \frac{1^2}{2} \ln 1 - \frac{3(1^2)}{4} = 0 - \frac{3}{4} = -\frac{3}{4}$ Restamos: $$I = (2 \ln 2 - 3) - \left( -\frac{3}{4} \right) = 2 \ln 2 - 3 + \frac{3}{4} = 2 \ln 2 - \frac{12}{4} + \frac{3}{4} = 2 \ln 2 - \frac{9}{4}$$ 💡 **Tip:** No olvides que $\ln 1 = 0$. Al aplicar Barrow, ten cuidado con los signos al restar el valor del límite inferior. ✅ **Resultado final apartado b):** $$\boxed{2 \ln 2 - \dfrac{9}{4}}$$