Límites por L'Hôpital y estudio de la monotonía

**a) Calcule $\lim_{x \to 0} \frac{\cos^2 x - 1}{1+2x-e^{2x}}$.** En primer lugar, evaluamos el límite sustituyendo $x=0$ en la expresión para comprobar si existe alguna indeterminación: $$\lim_{x \to 0} \frac{\cos^2 x - 1}{1+2x-e^{2x}} = \frac{\cos^2(0) - 1}{1+2(0)-e^{2(0)}} = \frac{1-1}{1+0-1} = \frac{0}{0}$$ Obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$, por lo que podemos aplicar la **regla de L'Hôpital**, que consiste en derivar el numerador y el denominador de forma independiente. 💡 **Tip:** Recuerda que la regla de L'Hôpital solo se puede aplicar si tenemos indeterminaciones del tipo $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$.

Derivamos el numerador y el denominador: - Numerador: $(\cos^2 x - 1)' = 2\cos x (-\sin x) = -2\sin x \cos x = -\sin(2x)$. - Denominador: $(1+2x-e^{2x})' = 2 - 2e^{2x}$. Aplicamos el límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{-\sin(2x)}{2-2e^{2x}} = \frac{-\sin(0)}{2-2e^0} = \frac{0}{2-2} = \frac{0}{0}$$ Como volvemos a obtener la indeterminación $\frac{0}{0}$, aplicamos la regla de L'Hôpital por segunda vez. 💡 **Tip:** El uso de identidades trigonométricas como $2\sin x \cos x = \sin(2x)$ simplifica mucho las derivadas posteriores.

Derivamos de nuevo: - Numerador: $(-\sin(2x))' = -2\cos(2x)$. - Denominador: $(2 - 2e^{2x})' = -4e^{2x}$. Calculamos el límite final: $$\lim_{x \to 0} \frac{-2\cos(2x)}{-4e^{2x}} = \frac{-2\cos(0)}{-4e^0} = \frac{-2(1)}{-4(1)} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}$$ ✅ **Resultado final del límite:** $$\boxed{\frac{1}{2}}$$

**b) Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f(x) = x(\ln x - 1)$. Calcule, si existen, los máximos y mínimos relativos de la función $f$.** Primero, determinamos el dominio de la función. Debido a la presencia de $\ln x$, la función solo está definida para valores de $x$ estrictamente positivos: **Dom $f = (0, +\infty)$**. Para estudiar el crecimiento, calculamos la derivada $f'(x)$ usando la regla del producto: $$f'(x) = (x)' \cdot (\ln x - 1) + x \cdot (\ln x - 1)'$$ $$f'(x) = 1 \cdot (\ln x - 1) + x \cdot \left(\frac{1}{x}\right) = \ln x - 1 + 1 = \ln x$$ 💡 **Tip:** La derivada de un producto es $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. Aquí $u=x$ y $v=\ln x - 1$.

Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$f'(x) = 0 \implies \ln x = 0 \implies x = e^0 = 1$$ Analizamos el signo de $f'(x) = \ln x$ en los intervalos definidos por el dominio y el punto crítico $(0, 1)$ y $(1, +\infty)$: $$ \begin{array}{c|ccc} x & (0, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline f'(x) = \ln x & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array} $$ - En $(0, 1)$, $f'(x) < 0$, por lo que la función es **decreciente**. - En $(1, +\infty)$, $f'(x) > 0$, por lo que la función es **creciente**. ✅ **Intervalos de monotonía:** $$\boxed{\text{Crecimiento: } (1, +\infty) \quad \text{Decrecimiento: } (0, 1)}$$

Como la función pasa de decrecer a crecer en $x=1$, existe un **mínimo relativo** en ese punto. Calculamos la ordenada del punto sustituyendo en $f(x)$: $$f(1) = 1 \cdot (\ln 1 - 1) = 1 \cdot (0 - 1) = -1$$ No existen más puntos críticos, por lo que no hay máximos relativos. ✅ **Extremos relativos:** $$\boxed{\text{Mínimo relativo en } (1, -1). \text{ No existen máximos relativos.}}$$ Se adjunta la gráfica de la función para visualizar su comportamiento: