Discusión de un sistema lineal con parámetro

**Discuta, según los valores del parámetro $m$, el siguiente sistema: $\begin{cases} mx + y = 2m, \\ x + z = 0, \\ x + my = 0. \end{cases}$** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema de ecuaciones: $$A = \begin{pmatrix} m & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & m & 0 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} m & 1 & 0 & 2m \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & m & 0 & 0 \end{array}\right)$$ El objetivo es comparar los rangos de estas matrices utilizando el **Teorema de Rouché-Capelli**. 💡 **Tip:** El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo. Si el determinante de la matriz de coeficientes ($3\times 3$) es distinto de cero, el rango será 3.

Calculamos el determinante de la matriz $A$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} m & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & m & 0 \end{vmatrix} = (m \cdot 0 \cdot 0) + (1 \cdot m \cdot 0) + (1 \cdot 1 \cdot 1) - [(0 \cdot 0 \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot 0) + (m \cdot m \cdot 1)]$$ $$|A| = 0 + 0 + 1 - (0 + 0 + m^2) = 1 - m^2$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos del parámetro: $$1 - m^2 = 0 \implies m^2 = 1 \implies m = \pm 1$$ Estos valores dividen el estudio en tres casos posibles: $m \neq \pm 1$, $m = 1$ y $m = -1$.

Si $m \neq 1$ y $m \neq -1$, entonces el determinante de la matriz de coeficientes es no nulo: $$|A| \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 3$$ Como la matriz ampliada $A^*$ es de dimensión $3\times 4$, su rango máximo también es 3. Dado que contiene a $A$, se cumple que: $$\text{rg}(A^*) = 3$$ Al ser el número de incógnitas $n = 3$, aplicamos el **Teorema de Rouché-Capelli**: $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = n = 3$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m \neq \pm 1, \text{ el sistema es Compatible Determinado (SCD). tiene solución única.}}$$

Sustituimos $m = 1$ en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo en $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 - 1 = -1 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Ahora estudiamos el rango de $A^*$. Tomamos un menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes (por ejemplo, usando las columnas 1, 2 y 4): $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot (1-0) = 2 \neq 0 \implies \text{rg}(A^*) = 3$$ Nota: Se ha desarrollado por la tercera columna. Como $\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$, según el **Teorema de Rouché-Capelli**: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m = 1, \text{ el sistema es Incompatible (SI). No tiene solución.}}$$

Sustituimos $m = -1$ en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -1 & 1 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo en $A$: $$\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 - 1 = -1 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Ahora estudiamos el rango de $A^*$. Tomamos el menor formado por las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} -1 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = -2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -2 \cdot (-1) = 2 \neq 0 \implies \text{rg}(A^*) = 3$$ Como $\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$, según el **Teorema de Rouché-Capelli**: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m = -1, \text{ el sistema es Incompatible (SI). No tiene solución.}}$$