Matrices y Ecuaciones Matriciales

**a) Calcular $A^2 - B^2$. (Advertencia: en este caso, $A^2 - B^2 \neq (A + B)(A - B)$.)** Para calcular $A^2 - B^2$, primero debemos encontrar individualmente las matrices $A$ y $B$ resolviendo el sistema de ecuaciones matriciales: 1) $A + B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 2) $A - B = \begin{pmatrix} 0 & -4 \\ 4 & -2 \end{pmatrix}$ Sumamos ambas ecuaciones para despejar $A$: $(A + B) + (A - B) = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & -4 \\ 4 & -2 \end{pmatrix}$ $$2A = \begin{pmatrix} 2+0 & 4-4 \\ 0+4 & 0-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 4 & -2 \end{pmatrix} \implies A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$$ Restamos ambas ecuaciones para despejar $B$: $(A + B) - (A - B) = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & -4 \\ 4 & -2 \end{pmatrix}$ $$2B = \begin{pmatrix} 2-0 & 4-(-4) \\ 0-4 & 0-(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 8 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} \implies B = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Las ecuaciones matriciales se resuelven de forma análoga a los sistemas de ecuaciones lineales escalares (método de reducción).

Calculamos los cuadrados de cada matriz: $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(1)+0(2) & 1(0)+0(-1) \\ 2(1)-1(2) & 2(0)-1(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I$$ $$B^2 = B \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(1)+4(-2) & 1(4)+4(1) \\ -2(1)+1(-2) & -2(4)+1(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 & 8 \\ -4 & -7 \end{pmatrix}$$ Finalmente, calculamos la resta: $$A^2 - B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -7 & 8 \\ -4 & -7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-(-7) & 0-8 \\ 0-(-4) & 1-(-7) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & -8 \\ 4 & 8 \end{pmatrix}$$ **Nota sobre la advertencia:** En general, $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ solo si $AB = BA$ (si las matrices conmutan). En este ejercicio, $AB \neq BA$, por lo que la identidad notable no se cumple. ✅ **Resultado apartado a):** $$\boxed{A^2 - B^2 = \begin{pmatrix} 8 & -8 \\ 4 & 8 \end{pmatrix}}$$

**b) Calcular la matriz $X$ que cumple la igualdad $XA + (A + B)^T = 2I + XB$.** Agrupamos los términos con la incógnita $X$ a un lado de la igualdad y los términos constantes al otro: $$XA - XB = 2I - (A + B)^T$$ Factorizamos $X$ por la izquierda: $$X(A - B) = 2I - (A + B)^T$$ Sea $C = A - B$ y sea $D = 2I - (A + B)^T$. La ecuación es $X C = D$. Para despejar $X$, multiplicamos por la derecha por la inversa de $C$ ($C^{-1}$): $$X = D \cdot C^{-1}$$ 💡 **Tip:** Es fundamental respetar el orden de la multiplicación en matrices. Como $C$ multiplica a $X$ por la **derecha**, su inversa debe multiplicar a $D$ también por la **derecha**.

Calculamos $C = A - B$ (ya nos la daba el enunciado): $$C = \begin{pmatrix} 0 & -4 \\ 4 & -2 \end{pmatrix}$$ Calculamos la traspuesta de $(A+B)$: $$A+B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \implies (A+B)^T = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}$$ Calculamos $D = 2I - (A+B)^T$: $$D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}$$

Primero comprobamos si $C$ tiene inversa calculando su determinante: $$|C| = \begin{vmatrix} 0 & -4 \\ 4 & -2 \end{vmatrix} = (0)(-2) - (4)(-4) = 16 \neq 0$$ Al ser distinto de cero, existe $C^{-1}$. Calculamos la matriz adjunta: $$Adj(C) = \begin{pmatrix} -2 & -4 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} \implies (Adj(C))^T = \begin{pmatrix} -2 & 4 \\ -4 & 0 \end{pmatrix}$$ $$C^{-1} = \frac{1}{16} \begin{pmatrix} -2 & 4 \\ -4 & 0 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos $X = D \cdot C^{-1}$: $$X = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} \cdot \left[ \frac{1}{16} \begin{pmatrix} -2 & 4 \\ -4 & 0 \end{pmatrix} \right] = \frac{1}{16} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ (-4)(-2) + 2(-4) & (-4)(4) + 2(0) \end{pmatrix}$$ $$X = \frac{1}{16} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 8 - 8 & -16 \end{pmatrix} = \frac{1}{16} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -16 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado apartado b):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}}$$