Probabilidad: Distribuciones Binomial y Normal

**a) En una determinada población de árboles, el 20% tienen más de 30 años. Si se eligen 40 árboles al azar, calcule la probabilidad de que solamente 4 de ellos tengan más de 30 años. El número total de árboles es tan grande que se puede asumir elección con reemplazo.** Definimos la variable aleatoria $X$ como el número de árboles que tienen más de 30 años en una muestra de $n = 40$. Dado que la probabilidad de que un árbol tenga más de 30 años es constante ($p = 0.20$) y las elecciones son independientes (con reemplazo), $X$ sigue una **distribución binomial**: $$X \sim B(n, p) \implies X \sim B(40, 0.20)$$ Los parámetros son: - Número de ensayos: $n = 40$ - Probabilidad de éxito: $p = 0.20$ - Probabilidad de fracaso: $q = 1 - p = 0.80$ 💡 **Tip:** Una distribución binomial se aplica cuando tenemos un número fijo de experimentos independientes con dos posibles resultados y probabilidad constante.

Queremos calcular la probabilidad de que exactamente 4 árboles cumplan la condición, es decir, $P(X = 4)$. Usamos la fórmula de la probabilidad puntual de la binomial: $$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$ Sustituimos los valores: $$P(X = 4) = \binom{40}{4} \cdot (0.20)^4 \cdot (0.80)^{40-4}$$ Calculamos el número combinatorio: $$\binom{40}{4} = \frac{40!}{4!(40-4)!} = \frac{40 \cdot 39 \cdot 38 \cdot 37}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 13 \cdot 19 \cdot 37 = 91390$$ Ahora calculamos las potencias y el resultado final: $$P(X = 4) = 91390 \cdot (0.20)^4 \cdot (0.80)^{36}$$ $$P(X = 4) \approx 91390 \cdot 0.0016 \cdot 0.00032451 \approx 0.04746$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X = 4) \approx 0.0475}$$

**b) Si $X$ sigue una distribución normal de media 15 y $P(X \le 18) = 0.6915$, ¿cuál es la desviación típica?** Tenemos una variable $X \sim N(15, \sigma)$. Para poder utilizar las tablas de la distribución normal estándar, debemos realizar un cambio de variable o **tipificación**. La variable tipificada $Z$ se define como: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 15}{\sigma}$$ Sabemos que $P(X \le 18) = 0.6915$. Aplicamos la tipificación a la desigualdad: $$P\left(\frac{X - 15}{\sigma} \le \frac{18 - 15}{\sigma}\right) = 0.6915$$ $$P\left(Z \le \frac{3}{\sigma}\right) = 0.6915$$ 💡 **Tip:** Tipificar nos permite transformar cualquier normal $N(\mu, \sigma)$ en una $N(0, 1)$ para buscar en las tablas estándar.

Buscamos en la tabla de la distribución normal $N(0, 1)$ el valor de $z$ cuya probabilidad acumulada sea $0.6915$. Al observar la tabla, encontramos que: $$P(Z \le 0.50) = 0.6915$$ Por tanto, igualamos el valor obtenido de la tipificación con el valor de la tabla: $$\frac{3}{\sigma} = 0.50$$ Despejamos $\sigma$: $$\sigma = \frac{3}{0.50} = 6$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\sigma = 6}$$