Probabilidad condicionada y Teorema de la Probabilidad Total

En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema basándonos en el enunciado: - $R$: El estudiante es natural del Reino Unido. - $\bar{R}$: El estudiante no es natural del Reino Unido (ha nacido fuera). - $H$: El estudiante aprueba con honores. - $\bar{H}$: El estudiante no aprueba con honores. Extraemos los datos proporcionados en forma de probabilidades: - $P(R) = 0.57 \implies P(\bar{R}) = 1 - 0.57 = 0.43$ - $P(H|R) = 0.83$ (probabilidad de aprobar con honores sabiendo que es del Reino Unido) - $P(H) = 0.80$ (probabilidad global de aprobar con honores) El objetivo es calcular la probabilidad de que no haya nacido en el Reino Unido sabiendo que aprobó con honores, es decir: **$P(\bar{R}|H)$**. 💡 **Tip:** Identifica siempre si el dato es una probabilidad simple, una intersección o una condicionada. Las frases del tipo "de entre todos esos..." o "sabiendo que..." suelen indicar probabilidades condicionadas.

Podemos representar la situación mediante un árbol. Para completar la rama de los estudiantes que no son del Reino Unido, necesitaremos realizar cálculos adicionales en los siguientes pasos.

Para hallar $P(\bar{R}|H)$, utilizaremos la definición de probabilidad condicionada: $$P(\bar{R}|H) = \frac{P(\bar{R} \cap H)}{P(H)}$$ Ya conocemos $P(H) = 0.80$, pero necesitamos hallar $P(\bar{R} \cap H)$. Aplicando el Teorema de la Probabilidad Total: $$P(H) = P(R \cap H) + P(\bar{R} \cap H)$$ $$P(H) = P(R) \cdot P(H|R) + P(\bar{R} \cap H)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$0.80 = (0.57 \cdot 0.83) + P(\bar{R} \cap H)$$ $$0.80 = 0.4731 + P(\bar{R} \cap H)$$ Despejamos la intersección: $$P(\bar{R} \cap H) = 0.80 - 0.4731 = 0.3269$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total nos dice que la probabilidad de un suceso es la suma de las probabilidades de todas las formas en las que ese suceso puede ocurrir.

Finalmente, calculamos la probabilidad condicionada solicitada: $$P(\bar{R}|H) = \frac{P(\bar{R} \cap H)}{P(H)}$$ Sustituimos los valores calculados: $$P(\bar{R}|H) = \frac{0.3269}{0.80}$$ $$P(\bar{R}|H) = 0.408625$$ Expresado en porcentaje, esto equivale aproximadamente al $40.86\%$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P(\bar{R}|H) = 0.408625}$$