Vectores coplanarios y ecuación del plano

**a) Calcule $k$ sabiendo que los vectores $\vec{u}(2,0,0), \vec{v}(0,k, 1)$ y $\vec{w}(2,2,2)$ son coplanarios.** Tres vectores en $\mathbb{R}^3$ son coplanarios (están en el mismo plano) si su producto mixto es igual a cero. Esto equivale a decir que el determinante de la matriz formada por sus componentes debe ser nulo. Formamos el determinante con los vectores $\vec{u}, \vec{v}$ y $\vec{w}$: $$\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & k & 1 \\ 2 & 2 & 2 \end{vmatrix} = 0$$ 💡 **Tip:** Tres vectores son coplanarios si son linealmente dependientes, lo que implica que el volumen del paralelepípedo que definen es cero.

Calculamos el determinante aplicando la regla de Sarrus o desarrollando por la primera fila (que es más rápido al tener dos ceros): $$\begin{vmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & k & 1 \\ 2 & 2 & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \begin{vmatrix} k & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} - 0 + 0$$ $$2 \cdot (k \cdot 2 - 1 \cdot 2) = 2 \cdot (2k - 2) = 4k - 4$$ Para que sean coplanarios, igualamos a cero: $$4k - 4 = 0 \implies 4k = 4 \implies k = 1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{k = 1}$$

**b) Obtenga la ecuación implícita del plano $\pi$ que pasa por $P(1,0,0)$ y contiene a $r: x - 1 = \frac{y}{-4} = \frac{z+1}{3}$.** Para definir un plano necesitamos un punto y dos vectores directores no paralelos (o un punto y el vector normal). 1. **Punto del plano:** Usamos el punto dado $P(1,0,0)$. 2. **Vector director 1 ($\vec{v_1}$):** Como el plano contiene a la recta $r$, el vector director de la recta es también un vector del plano. De la ecuación continua $r: \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{-4} = \frac{z+1}{3}$, obtenemos: $$\vec{v_r} = (1, -4, 3)$$ 3. **Vector director 2 ($\vec{v_2}$):** Necesitamos otro vector que esté contenido en el plano. Podemos obtenerlo uniendo un punto de la recta con el punto $P$. Un punto de la recta $r$ es $Q(1, 0, -1)$. Calculamos el vector $\vec{QP}$: $$\vec{v_2} = \vec{QP} = P - Q = (1 - 1, 0 - 0, 0 - (-1)) = (0, 0, 1)$$ 💡 **Tip:** Antes de seguir, comprobamos que $P \notin r$ para asegurar que el plano es único. Sustituyendo $P(1,0,0)$ en $r$: $1-1=0, 0/-4=0, (0+1)/3 = 1/3$. Como $0 \neq 1/3$, $P$ no está en la recta.

La ecuación implícita del plano se obtiene resolviendo el determinante formado por un punto genérico $X(x,y,z)$ y los elementos hallados: $$\begin{vmatrix} x - x_P & y - y_P & z - z_P \\ v_{1x} & v_{1y} & v_{1z} \\ v_{2x} & v_{2y} & v_{2z} \end{vmatrix} = 0$$ Sustituimos los valores de $P(1,0,0)$, $\vec{v_1}(1, -4, 3)$ y $\vec{v_2}(0, 0, 1)$: $$\begin{vmatrix} x - 1 & y & z \\ 1 & -4 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos por Sarrus: $$(x - 1)(-4)(1) + (y)(3)(0) + (z)(1)(0) - [ (0)(-4)(z) + (0)(3)(x-1) + (1)(1)(y) ] = 0$$ $$-4(x - 1) - y = 0$$ $$-4x + 4 - y = 0$$ Multiplicando por $-1$ para simplificar la expresión: $$4x + y - 4 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi: 4x + y - 4 = 0}$$