Posición relativa de recta y plano

**5. Geometría: Sean $r$ la recta de vector director $\vec{d}_r(1,0,3)$ que pasa por $P(1,0,0)$ y $\pi: -2x + y + z = 0$. Se pide la posición relativa de $r$ y $\pi$. En caso de que se corten, hallar el punto de corte.** Primero, extraemos la información necesaria de los elementos geométricos: 1. **Recta $r$:** - Vector director: $\vec{d}_r = (1, 0, 3)$ - Punto de paso: $P(1, 0, 0)$ - Ecuaciones paramétricas de $r$: $$\begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 0 \\ z = 3\lambda \end{cases}$$ 2. **Plano $\pi$:** - Ecuación implícita: $-2x + y + z = 0$ - Vector normal del plano: $\vec{n}_\pi = (-2, 1, 1)$ 💡 **Tip:** El vector normal de un plano $Ax + By + Cz + D = 0$ está formado por los coeficientes de las variables: $\vec{n}(A, B, C)$.

Para conocer la posición relativa, analizamos si el vector director de la recta $\vec{d}_r$ es perpendicular al vector normal del plano $\vec{n}_\pi$. Calculamos su producto escalar: $$\vec{d}_r \cdot \vec{n}_\pi = (1, 0, 3) \cdot (-2, 1, 1) = 1 \cdot (-2) + 0 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = -2 + 0 + 3 = 1$$ Como $\vec{d}_r \cdot \vec{n}_\pi \neq 0$, los vectores no son perpendiculares. Esto implica que la recta no es paralela al plano ni está contenida en él. Por lo tanto, **la recta $r$ y el plano $\pi$ son secantes**, es decir, se cortan en un único punto. 💡 **Tip:** Si el producto escalar fuera $0$, la recta sería paralela al plano o estaría contenida en él. Como es distinto de cero, el ángulo entre el vector director y el normal no es $90^\circ$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La recta } r \text{ y el plano } \pi \text{ se cortan en un punto (son secantes)}}$$

Para hallar el punto de corte $Q$, sustituimos las expresiones de las ecuaciones paramétricas de la recta $r$ en la ecuación del plano $\pi$: $$-2x + y + z = 0 \implies -2(1 + \lambda) + (0) + (3\lambda) = 0$$ Resolvemos la ecuación para hallar el valor del parámetro $\lambda$: $$-2 - 2\lambda + 3\lambda = 0$$ $$\lambda - 2 = 0 \implies \lambda = 2$$ Ahora, sustituimos $\lambda = 2$ en las ecuaciones paramétricas de $r$ para obtener las coordenadas del punto $Q$: $$x = 1 + 2 = 3$$ $$y = 0$$ $$z = 3(2) = 6$$ El punto de corte es $Q(3, 0, 6)$. ✅ **Resultado (punto de corte):** $$\boxed{Q(3, 0, 6)}$$