Área de una función a trozos e integral indefinida

**a) Calcule el área de la región encerrada por el eje $X$ y la gráfica de $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{3}x + 1 & \text{si } x \lt 0, \\ (x - 1)^2 & \text{si } x \ge 0. \end{cases}** Para calcular el área encerrada por el eje $X$ (recta $y=0$), primero buscamos los puntos de corte de cada rama de la función con dicho eje ($f(x)=0$): 1. **Rama 1 ($x \lt 0$):** $$\frac{1}{3}x + 1 = 0 \implies \frac{1}{3}x = -1 \implies x = -3$$ Como $-3 \lt 0$, este es un punto de corte válido en este intervalo. 2. **Rama 2 ($x \ge 0$):** $$(x - 1)^2 = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x = 1$$ Como $1 \ge 0$, este es un punto de corte válido en este intervalo. El área se extenderá desde $x = -3$ hasta $x = 1$. Dado que la función cambia de expresión en $x = 0$, dividiremos la integral en dos partes. 💡 **Tip:** El área encerrada por una función $f(x)$ y el eje $X$ entre $a$ y $b$ viene dada por $\int_a^b |f(x)| \, dx$.

Analizamos el signo de la función en los intervalos de integración para eliminar el valor absoluto: - En $[-3, 0]$, $f(x) = \frac{1}{3}x + 1 \ge 0$. - En $[0, 1]$, $f(x) = (x - 1)^2 \ge 0$. Por tanto, el área total $A$ es la suma de las dos áreas: $$A = \int_{-3}^{0} \left( \frac{1}{3}x + 1 \right) dx + \int_{0}^{1} (x - 1)^2 dx$$ Procedemos a calcular cada integral por separado aplicando la Regla de Barrow. 💡 **Tip:** Recuerda que la Regla de Barrow establece que $\int_a^b f(x) \, dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$, donde $F(x)$ es una primitiva de $f(x)$.

Calculamos la integral para el intervalo $[-3, 0]$: $$\int_{-3}^{0} \left( \frac{1}{3}x + 1 \right) dx = \left[ \frac{1}{3} \cdot \frac{x^2}{2} + x \right]_{-3}^{0} = \left[ \frac{x^2}{6} + x \right]_{-3}^{0}$$ Aplicamos los límites de integración: $$F(0) = \frac{0^2}{6} + 0 = 0$$ $$F(-3) = \frac{(-3)^2}{6} + (-3) = \frac{9}{6} - 3 = \frac{3}{2} - 3 = -\frac{3}{2}$$ Restamos los valores: $$A_1 = 0 - \left( -\frac{3}{2} \right) = \frac{3}{2} \text{ unidades}^2$$ **Área de la primera región: $\frac{3}{2}$ u²**

Calculamos la integral para el intervalo $[0, 1]$: $$\int_{0}^{1} (x - 1)^2 dx = \left[ \frac{(x - 1)^3}{3} \right]_{0}^{1}$$ Aplicamos los límites de integración: $$G(1) = \frac{(1 - 1)^3}{3} = 0$$ $$G(0) = \frac{(0 - 1)^3}{3} = \frac{-1}{3} = -\frac{1}{3}$$ Restamos los valores: $$A_2 = 0 - \left( -\frac{1}{3} \right) = \frac{1}{3} \text{ unidades}^2$$ Sumamos ambas áreas para obtener el área total: $$A = A_1 + A_2 = \frac{3}{2} + \frac{1}{3} = \frac{9}{6} + \frac{2}{6} = \frac{11}{6} \text{ unidades}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{11}{6} \approx 1,833 \text{ u}^2}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x) = \\{x \\lt 0: \\frac{1}{3}x + 1, x \\ge 0: (x - 1)^2\\}", "color": "#2563eb" }, { "id": "reg1", "latex": "0 \\le y \\le \\frac{1}{3}x + 1 \\{-3 \\le x \\le 0\\}", "color": "#93c5fd" }, { "id": "reg2", "latex": "0 \\le y \\le (x - 1)^2 \\{0 \\le x \\le 1\\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": -4, "right": 2, "bottom": -1, "top": 2 } } }

**b) Calcule $\int x \sqrt{x^2 - 1} dx$.** Observamos que la expresión dentro de la raíz es $x^2 - 1$, y su derivada es $2x$. Como tenemos una $x$ fuera de la raíz, podemos ajustar la integral para que sea de tipo inmediata (función elevada a una potencia). Reescribimos la raíz como potencia: $$\int x (x^2 - 1)^{1/2} dx$$ Para aplicar la fórmula $\int f'(x) \cdot [f(x)]^n dx = \frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1} + C$, necesitamos un $2$ multiplicando a la $x$. Multiplicamos y dividimos por $2$: $$\int x (x^2 - 1)^{1/2} dx = \frac{1}{2} \int 2x (x^2 - 1)^{1/2} dx$$ Ahora integramos sumando 1 al exponente: $$\frac{1}{2} \cdot \frac{(x^2 - 1)^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{(x^2 - 1)^{3/2}}{3/2} + C$$ Simplificamos la expresión: $$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} (x^2 - 1)^{3/2} + C = \frac{1}{3} (x^2 - 1)^{3/2} + C$$ O expresado en forma de raíz: $$\frac{1}{3} \sqrt{(x^2 - 1)^3} + C$$ 💡 **Tip:** Esta integral también puede resolverse mediante el cambio de variable $t = x^2 - 1$, lo que daría $dt = 2x \, dx$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\frac{1}{3} (x^2 - 1)^{3/2} + C}$$