Continuidad y derivabilidad de una función a trozos con parámetros

**Determine los valores de $a$ y $b$ que hacen que la función $f(x) = \begin{cases} \frac{a-\cos x}{x} & \text{si } x \lt 0, \\ bx & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$ sea, primero continua, y luego derivable.** Para que la función sea continua en $x = 0$, se deben cumplir tres condiciones: 1. Que exista el valor de la función en el punto: $f(0)$. 2. Que exista el límite de la función cuando $x$ tiende a $0$: $\lim_{x \to 0} f(x)$. 3. Que ambos valores coincidan: $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$. Analizamos el valor de la función y el límite por la derecha (rama $x \ge 0$): $$f(0) = b \cdot (0) = 0$$ $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (bx) = 0$$ 💡 **Tip:** Una función definida a trozos es continua en el punto de salto si los límites laterales y el valor de la función coinciden.

Para que la función sea continua, el límite por la izquierda también debe ser $0$: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{a - \cos x}{x} = 0$$ Si evaluamos directamente el límite sustituyendo $x = 0$, el denominador es $0$. Para que el límite pueda ser un número finito (en este caso $0$), el numerador también debe tender a $0$ para evitar que el límite sea infinito (indeterminación $k/0$): $$a - \cos(0) = 0 \implies a - 1 = 0 \implies a = 1.$$ Si $a = 1$, obtenemos una indeterminación del tipo $\left[\frac{0}{0}\right]$, la cual podemos resolver aplicando la **Regla de L'Hôpital**: $$\lim_{x \to 0^-} \frac{1 - \cos x}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{\frac{d}{dx}(1 - \cos x)}{\frac{d}{dx}(x)} = \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{1} = \sin(0) = 0.$$ Como el límite es $0$ y coincide con $f(0)$, la función es continua si $a=1$ para cualquier valor de $b$. ✅ **Resultado parcial (continuidad):** $$\boxed{a = 1, \quad b \in \mathbb{R}}$$

Una vez asegurada la continuidad con $a=1$, estudiamos la derivabilidad en $x=0$. Una función es derivable en un punto si existen las derivadas laterales y son iguales: $f'(0^-) = f'(0^+)$. Primero, calculamos la derivada de cada rama para $x \neq 0$ (usando $a=1$): Para $x \gt 0$: $f(x) = bx \implies f'(x) = b$. Para $x \lt 0$: $f(x) = \frac{1 - \cos x}{x}$, usamos la regla del cociente $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $$f'(x) = \frac{(\sin x) \cdot x - (1 - \cos x) \cdot 1}{x^2} = \frac{x \sin x - 1 + \cos x}{x^2}.$$ Por tanto, la función derivada es: $$f'(x) = \begin{cases} \frac{x \sin x + \cos x - 1}{x^2} & \text{si } x \lt 0 \\ b & \text{si } x \gt 0 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para estudiar la derivabilidad, la función debe ser obligatoriamente continua en ese punto previamente.

Calculamos los límites de la derivada (derivadas laterales): **Derivada lateral derecha:** $$f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} b = b.$$ **Derivada lateral izquierda:** $$f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} \frac{x \sin x + \cos x - 1}{x^2} = \left[\frac{0}{0}\right].$$ Aplicamos la **Regla de L'Hôpital** derivando numerador y denominador: $$f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} \frac{\frac{d}{dx}(x \sin x + \cos x - 1)}{\frac{d}{dx}(x^2)} = \lim_{x \to 0^-} \frac{(1 \cdot \sin x + x \cos x) - \sin x}{2x}$$ Simplificamos los términos $\sin x$: $$f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} \frac{x \cos x}{2x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{\cos x}{2} = \frac{\cos(0)}{2} = \frac{1}{2}.$$ Para que sea derivable, igualamos $f'(0^+) = f'(0^-)$: $$b = \frac{1}{2}.$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 1, \quad b = \frac{1}{2}}$$