Discusión de un sistema de ecuaciones lineales con parámetro

**Discuta, según los valores del parámetro $m$, el siguiente sistema: $\begin{cases} (m + 3)x - m^2y = 3m, \\ (m + 3)x + my = 3m + 6. \end{cases}$** Para discutir el sistema según el parámetro $m$, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**. Primero, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} m+3 & -m^2 \\ m+3 & m \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} m+3 & -m^2 & 3m \\ m+3 & m & 3m+6 \end{pmatrix}$$ El número de incógnitas es $n = 2$ ($x$ e $y$). 💡 **Tip:** El teorema de Rouché-Frobenius establece que un sistema es compatible si $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*)$. Si además este rango es igual al número de incógnitas, el sistema es compatible determinado.

Calculamos el determinante de la matriz $A$ para ver cuándo su rango es máximo (rango 2): $$|A| = \begin{vmatrix} m+3 & -m^2 \\ m+3 & m \end{vmatrix}$$ Podemos sacar factor común $(m+3)$ de la primera columna para simplificar el cálculo: $$|A| = (m+3) \begin{vmatrix} 1 & -m^2 \\ 1 & m \end{vmatrix} = (m+3) [1 \cdot m - 1 \cdot (-m^2)] = (m+3)(m + m^2)$$ Factorizamos la expresión resultante: $$|A| = (m+3)m(1+m)$$ Igualamos el determinante a cero para hallar los valores críticos: $$(m+3)m(1+m) = 0 \implies \begin{cases} m = -3 \\ m = 0 \\ m = -1 \end{cases}$$ $$\boxed{|A| = 0 \iff m \in \{0, -1, -3\}}$$

Si $m \neq 0$, $m \neq -1$ y $m \neq -3$, el determinante de la matriz $A$ es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Por tanto: - $\text{rang}(A) = 2$ - $\text{rang}(A^*) = 2$ (ya que no puede ser mayor que el número de filas) - $n = 2$ (número de incógnitas) Como $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = n = 2$, por el Teorema de Rouché-Frobenius: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m \notin \{0, -1, -3\}, \text{ el sistema es Compatible Determinado (SCD)}}$$

Sustituimos $m = 0$ en la matriz ampliada: $$A^* = \begin{pmatrix} 0+3 & -0^2 & 3(0) \\ 0+3 & 0 & 3(0)+6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 6 \end{pmatrix}$$ - Analizamos $\text{rang}(A)$: El determinante es $0$, y como hay al menos un elemento distinto de cero (el $3$), el **$\text{rang}(A) = 1$**. - Analizamos $\text{rang}(A^*)$: Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero usando la tercera columna: $$\begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 3 & 6 \end{vmatrix} = 18 - 0 = 18 \neq 0 \implies \text{rang}(A^*) = 2$$ Como $\text{rang}(A) = 1 \neq \text{rang}(A^*) = 2$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m = 0, \text{ el sistema es Incompatible (SI)}}$$

Sustituimos $m = -1$ en la matriz ampliada: $$A^* = \begin{pmatrix} -1+3 & -(-1)^2 & 3(-1) \\ -1+3 & -1 & 3(-1)+6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -3 \\ 2 & -1 & 3 \end{pmatrix}$$ - Analizamos $\text{rang}(A)$: Las dos filas son iguales en las columnas de coeficientes, por tanto **$\text{rang}(A) = 1$**. - Analizamos $\text{rang}(A^*)$: Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} -1 & -3 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = -3 - (3) = -6 \neq 0 \implies \text{rang}(A^*) = 2$$ Como $\text{rang}(A) = 1 \neq \text{rang}(A^*) = 2$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m = -1, \text{ el sistema es Incompatible (SI)}}$$

Sustituimos $m = -3$ en la matriz ampliada: $$A^* = \begin{pmatrix} -3+3 & -(-3)^2 & 3(-3) \\ -3+3 & -3 & 3(-3)+6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -9 & -9 \\ 0 & -3 & -3 \end{pmatrix}$$ - Analizamos $\text{rang}(A)$: La primera columna es nula. En la segunda columna hay elementos no nulos. Como las filas son proporcionales ($F_1 = 3F_2$), el **$\text{rang}(A) = 1$**. - Analizamos $\text{rang}(A^*)$: Observamos que la tercera columna es idéntica a la segunda ($C_2 = C_3$). Por tanto, cualquier menor de orden 2 que incluya estas columnas o la columna de ceros será cero. El rango máximo es 1. Como $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 1 \lt n = 2$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m = -3, \text{ el sistema es Compatible Indeterminado (SCI)}}$$