Ecuación matricial e inversión de matrices

**a) Despejar $X$ suponiendo que $A$ (y por tanto $A^2$) es invertible, y decir cuáles serían las dimensiones de $X$ y de $B$ si $A$ tuviera dimensión $4 \times 4$ y $B$ tuviera 3 columnas.** Partimos de la ecuación original: $$A^2 X + AB = B$$ Primero, aislamos el término que contiene a la incógnita $X$ restando $AB$ en ambos lados: $$A^2 X = B - AB$$ Como el enunciado indica que $A$ y $A^2$ son invertibles, podemos multiplicar por la izquierda por la matriz inversa de $A^2$, denotada como $(A^2)^{-1}$: $$(A^2)^{-1} A^2 X = (A^2)^{-1} (B - AB)$$ $$I \cdot X = (A^2)^{-1} (B - AB)$$ Por tanto, la expresión despejada es: $$\boxed{X = (A^2)^{-1} (B - AB)}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en álgebra matricial el orden de los factores importa. Como $A^2$ está a la izquierda de $X$, su inversa debe multiplicar por la izquierda a todo el bloque del segundo miembro.

Para analizar las dimensiones, recordamos que para que un producto $M \cdot N$ sea posible, el número de columnas de $M$ debe ser igual al número de filas de $N$. 1. Dado que $A$ es una matriz de $4 \times 4$, su cuadrado $A^2$ también es de **$4 \times 4$**. 2. Para realizar el producto $AB$, dado que $A$ tiene **4 columnas**, la matriz $B$ obligatoriamente debe tener **4 filas**. Como el enunciado nos dice que $B$ tiene 3 columnas, sus dimensiones son **$4 \times 3$**. 3. En la igualdad $A^2 X = B - AB$, el resultado de la derecha es una matriz de $4 \times 3$ (ya que es resta de matrices de $4 \times 3$). 4. Para que el producto $A^2_{4 \times 4} \cdot X_{m \times n}$ resulte en una matriz de $4 \times 3$, la matriz $X$ debe tener **4 filas y 3 columnas**. ✅ **Resultado (Dimensiones):** $$\boxed{B \in \mathcal{M}_{4 \times 3}, \quad X \in \mathcal{M}_{4 \times 3}}$$

**b) Resolverla en el caso en que $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -3 \end{pmatrix}$.** Observamos las matrices dadas. Es fácil notar que los elementos de $B$ son exactamente los opuestos de los elementos de $A$: $$B = -A$$ Podemos sustituir esto en nuestra ecuación despejada para simplificar el trabajo: $$X = (A^2)^{-1} (B - AB) = (A^2)^{-1} (-A - A(-A)) = (A^2)^{-1} (-A + A^2)$$ Distribuyendo el producto (respetando el orden): $$X = (A^2)^{-1}(-A) + (A^2)^{-1}A^2 = - (A^2)^{-1}A + I$$ Sabiendo que $(A^2)^{-1} = (A^{-1})^2$, entonces $(A^2)^{-1}A = A^{-1} A^{-1} A = A^{-1} I = A^{-1}$. Por tanto: $$X = I - A^{-1}$$ 💡 **Tip:** Identificar relaciones como $B = -A$ o $B = 2A$ ahorra mucho tiempo en los exámenes, evitando tener que calcular potencias pesadas como $A^2$.

Para hallar $A^{-1}$, primero calculamos el determinante de $A$ por la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \end{vmatrix} = (0 \cdot 1 \cdot 3) + (0 \cdot 0 \cdot -1) + (-1 \cdot 0 \cdot 0) - [(-1 \cdot 1 \cdot -1) + (0 \cdot 0 \cdot 0) + (3 \cdot 0 \cdot 0)]$$ $$|A| = 0 - 1 = -1$$ Como $|A| \neq 0$, la matriz es invertible. Calculamos la matriz de adjuntos $Adj(A)$: $A_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 3; \quad A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = 0; \quad A_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 1$ $A_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 0; \quad A_{22} = +\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = -1; \quad A_{23} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 0$ $A_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1; \quad A_{32} = -\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0; \quad A_{33} = +\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$ La matriz de adjuntos es: $$Adj(A) = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ La inversa es $A^{-1} = \frac{1}{|A|} (Adj(A))^t$. Como la matriz es simétrica, $(Adj(A))^t = Adj(A)$: $$A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Utilizamos la fórmula simplificada que obtuvimos en el paso 3: $$X = I - A^{-1}$$ $$X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Realizamos la resta elemento a elemento: $$X = \begin{pmatrix} 1 - (-3) & 0 - 0 & 0 - (-1) \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 \\ 0 - (-1) & 0 - 0 & 1 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$$