Distribución Binomial: Encestes de un jugador de baloncesto

Para resolver este ejercicio, primero debemos identificar el tipo de distribución. Estamos ante un experimento con las siguientes características: - Se realizan un número fijo de pruebas: $n = 8$ (tiros). - En cada prueba solo hay dos resultados posibles: encestar (éxito) o fallar (fracaso). - La probabilidad de éxito es constante: $p = 0,60$ ($60\%$). - Los tiros son independientes entre sí. Definimos la variable aleatoria: $X$: "número de triples encestados en 8 tiros". Por tanto, $X$ sigue una **distribución Binomial**: $X \sim B(n, p) = B(8, \, 0,6)$. La fórmula general para calcular la probabilidad de obtener $k$ éxitos es: $$P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$ donde $q = 1 - p = 0,4$ es la probabilidad de fracaso. 💡 **Tip:** Identifica siempre los parámetros $n$ y $p$ antes de empezar. En este caso, $n=8$ y $p=0,6$.

**a) Calcule la probabilidad de que enceste 5 triples. (0,75 puntos)** Buscamos $P(X=5)$. Aplicamos la fórmula de la binomial con $k=5$: $$P(X=5) = \binom{8}{5} \cdot (0,6)^5 \cdot (0,4)^{8-5} = \binom{8}{5} \cdot (0,6)^5 \cdot (0,4)^3$$ Calculamos el número combinatorio: $$\binom{8}{5} = \frac{8!}{5! \cdot (8-5)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 8 \cdot 7 = 56$$ Ahora realizamos las operaciones de potencias: $$(0,6)^5 = 0,07776$$ $$(0,4)^3 = 0,064$$ Sustituyendo todo: $$P(X=5) = 56 \cdot 0,07776 \cdot 0,064 = 0,27869184$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X=5) \approx 0,2787}$$

**b) Calcule la probabilidad de que enceste al menos 2. (0,75 puntos)** La expresión "al menos 2" significa que $X \ge 2$. Calcular $P(X=2) + P(X=3) + \dots + P(X=8)$ sería muy largo. Es mucho más eficiente utilizar el **suceso contrario**: $$P(X \ge 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)]$$ Calculamos por separado: 1. $P(X=0) = \binom{8}{0} \cdot (0,6)^0 \cdot (0,4)^8 = 1 \cdot 1 \cdot 0,00065536 = 0,00065536$ 2. $P(X=1) = \binom{8}{1} \cdot (0,6)^1 \cdot (0,4)^7 = 8 \cdot 0,6 \cdot 0,0016384 = 0,00786432$ Sumamos ambas: $$P(X < 2) = 0,00065536 + 0,00786432 = 0,00851968$$ Finalmente, restamos de la unidad: $$P(X \ge 2) = 1 - 0,00851968 = 0,99148032$$ 💡 **Tip:** Siempre que te pidan "al menos..." o "como mínimo...", comprueba si es más rápido resolverlo por el suceso contrario ($1 - P(\dots)$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \ge 2) \approx 0,9915}$$

**c) Determine la media y la desviación típica de la distribución. (0,5 puntos)** Para una distribución binomial $B(n, p)$, los parámetros estadísticos se calculan con las siguientes fórmulas: 1. **Media ($\mu$):** $$\mu = n \cdot p$$ $$\mu = 8 \cdot 0,6 = 4,8$$ 2. **Desviación típica ($\sigma$):** $$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q}$$ $$\sigma = \sqrt{8 \cdot 0,6 \cdot 0,4} = \sqrt{1,92} \approx 1,3856$$ Interpretación: El jugador encesta una media de 4,8 triples por cada 8 lanzamientos, con una dispersión de 1,3856 triples respecto a esa media. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\mu = 4,8, \quad \sigma \approx 1,3856}$$