Probabilidad y Estadística 2020 Extremadura
Probabilidad de lotes defectuosos y Teorema de Bayes
9. Una librería compra lotes de material escolar a tres empresas $A, B$ y $C$. A la empresa $A$ le compra el $40\%$ de los lotes, a $B$ el $25\%$ y a $C$ el resto. De la empresa $A$ le viene defectuoso el $1\%$ de los lotes, de $B$ el $2\%$ y de $C$ el $3\%$. Elegido un lote al azar, se pide:
a) Calcule la probabilidad de que sea defectuoso. (1 punto)
b) Si sabemos que no es defectuoso, calcule la probabilidad de que lo haya fabricado la empresa $B$. (1 punto)
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol de probabilidades
Para resolver este problema, primero definimos los sucesos principales:
* $A$: El lote es de la empresa $A$.
* $B$: El lote es de la empresa $B$.
* $C$: El lote es de la empresa $C$.
* $D$: El lote es defectuoso.
* $\bar{D}$: El lote no es defectuoso (suceso contrario a $D$).
Datos proporcionados en el enunciado:
$P(A) = 0,40$
$P(B) = 0,25$
$P(C) = 1 - (0,40 + 0,25) = 0,35$
Probabilidades condicionadas (defectuosos por empresa):
$P(D|A) = 0,01 \implies P(\bar{D}|A) = 0,99$
$P(D|B) = 0,02 \implies P(\bar{D}|B) = 0,98$
$P(D|C) = 0,03 \implies P(\bar{D}|C) = 0,97$
Representamos la situación en un **árbol de probabilidades**:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad total de defecto
**a) Calcule la probabilidad de que sea defectuoso. (1 punto)**
Para calcular la probabilidad de que un lote sea defectuoso, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Sumamos las probabilidades de ser defectuoso viniendo de cada una de las tres empresas:
$$P(D) = P(A) \cdot P(D|A) + P(B) \cdot P(D|B) + P(C) \cdot P(D|C)$$
Sustituimos los valores conocidos:
$$P(D) = 0,40 \cdot 0,01 + 0,25 \cdot 0,02 + 0,35 \cdot 0,03$$
Realizamos las operaciones:
$$P(D) = 0,004 + 0,005 + 0,0105 = 0,0195$$
💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso (ser defectuoso) puede ocurrir a través de varios caminos excluyentes (empresa A, B o C).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(D) = 0,0195}$$
Paso 3
Cálculo de la probabilidad condicionada (Bayes)
**b) Si sabemos que no es defectuoso, calcule la probabilidad de que lo haya fabricado la empresa $B$. (1 punto)**
Se nos pide la probabilidad condicionada $P(B|\bar{D})$. Aplicamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(B|\bar{D}) = \frac{P(B \cap \bar{D})}{P(\bar{D})} = \frac{P(B) \cdot P(\bar{D}|B)}{P(\bar{D})}$$
Primero, calculamos la probabilidad de que un lote **no** sea defectuoso:
$$P(\bar{D}) = 1 - P(D) = 1 - 0,0195 = 0,9805$$
Ahora, calculamos la probabilidad de la intersección (que sea de B y no sea defectuoso):
$$P(B \cap \bar{D}) = P(B) \cdot P(\bar{D}|B) = 0,25 \cdot 0,98 = 0,245$$
Finalmente, calculamos la probabilidad condicionada:
$$P(B|\bar{D}) = \frac{0,245}{0,9805} \approx 0,24987$$
💡 **Tip:** Recuerda que $P(A|B)$ no es lo mismo que $P(B|A)$. El Teorema de Bayes permite "invertir" la condición.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(B|\bar{D}) = \frac{2450}{9805} \approx 0,2499}$$