Integral racional por descomposición en fracciones simples

Nos encontramos ante una **integral racional** donde el grado del numerador ($1$) es menor que el grado del denominador ($2$). Para resolverla, primero debemos factorizar el denominador $x^2 + x - 2$. Buscamos las raíces de $x^2 + x - 2 = 0$ utilizando la fórmula cuadrática: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$ Esto nos da dos raíces reales distintas: - $x_1 = \frac{2}{2} = 1$ - $x_2 = \frac{-4}{2} = -2$ Por lo tanto, el denominador se factoriza como: $$x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)$$ 💡 **Tip:** Cuando el grado del numerador es menor que el del denominador, el primer paso es siempre intentar factorizar el denominador para descomponer la fracción.

Como tenemos raíces reales simples, planteamos la descomposición de la siguiente forma: $$\frac{-x + 7}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2}$$ Para hallar $A$ y $B$, multiplicamos toda la ecuación por el denominador común $(x - 1)(x + 2)$: $$-x + 7 = A(x + 2) + B(x - 1)$$ Calculamos los valores de los coeficientes dando a $x$ los valores de las raíces: - Si **$x = 1$**: $$-1 + 7 = A(1 + 2) + B(1 - 1) \implies 6 = 3A \implies \mathbf{A = 2}$$ - Si **$x = -2$**: $$-(-2) + 7 = A(-2 + 2) + B(-2 - 1) \implies 9 = -3B \implies \mathbf{B = -3}$$ De este modo, la fracción original queda: $$\frac{-x + 7}{x^2 + x - 2} = \frac{2}{x - 1} - \frac{3}{x + 2}$$

Ahora sustituimos la descomposición en la integral original y aplicamos la propiedad de linealidad: $$\int \frac{-x + 7}{x^2 + x - 2} dx = \int \left( \frac{2}{x - 1} - \frac{3}{x + 2} \right) dx$$ $$\int \frac{2}{x - 1} dx - \int \frac{3}{x + 2} dx$$ Extraemos las constantes y resolvemos las integrales inmediatas (tipo logaritmo neperiano): $$2 \int \frac{1}{x - 1} dx - 3 \int \frac{1}{x + 2} dx = 2 \ln|x - 1| - 3 \ln|x + 2| + C$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln|f(x)| + C$. En este caso, la derivada de $x-1$ y $x+2$ es $1$, por lo que son logaritmos directos. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int \frac{-x + 7}{x^2 + x - 2} dx = 2 \ln|x - 1| - 3 \ln|x + 2| + C}$$