Área delimitada por una parábola y una recta

**a) Represente de forma aproximada la región delimitada por las dos curvas. (0,5 puntos)** Para representar la región y calcular el área, lo primero es determinar dónde se cruzan ambas funciones. Para ello, igualamos $f(x)$ y $g(x)$: $$x^2 - 4x + 1 = -x + 1$$ Agrupamos todos los términos en un lado de la igualdad para obtener una ecuación de segundo grado: $$x^2 - 4x + 1 + x - 1 = 0$$ $$x^2 - 3x = 0$$ Factorizamos la expresión: $$x(x - 3) = 0$$ Obtenemos dos soluciones: 1. $x_1 = 0$ 2. $x_2 = 3$ Calculamos las ordenadas correspondientes sustituyendo en $g(x) = -x + 1$: - Para $x=0 \implies g(0) = -0 + 1 = 1$. El punto es **$(0, 1)$**. - Para $x=3 \implies g(3) = -3 + 1 = -2$. El punto es **$(3, -2)$**. 💡 **Tip:** Los puntos de corte nos indican los límites de integración para el cálculo del área en el apartado b). $$\boxed{x=0, x=3}$$

Para realizar la representación aproximada, analizamos brevemente las funciones: - $f(x) = x^2 - 4x + 1$: Es una parábola con las ramas hacia arriba ($a \gt 0$). Su vértice se encuentra en $x_v = -b/2a = 4/2 = 2$. La ordenada del vértice es $f(2) = 2^2 - 4(2) + 1 = 4 - 8 + 1 = -3$. El vértice es **$(2, -3)$**. - $g(x) = -x + 1$: Es una recta con pendiente negativa que pasa por $(0, 1)$ y $(3, -2)$. A continuación se muestra la representación gráfica de la región comprendida entre ambas curvas:

**b) Calcule el área de dicha región. (1,5 puntos)** El área de la región delimitada por dos funciones se calcula mediante la integral definida de la diferencia de las funciones (la que está por encima menos la que está por debajo) entre los puntos de corte. En el intervalo $[0, 3]$, observamos que la recta $g(x)$ está por encima de la parábola $f(x)$. Podemos comprobarlo evaluando un punto intermedio, por ejemplo $x=1$: - $g(1) = -1 + 1 = 0$ - $f(1) = 1^2 - 4(1) + 1 = -2$ Como $0 \gt -2$, entonces $g(x) \ge f(x)$ en el intervalo. El planteamiento es: $$A = \int_{0}^{3} [g(x) - f(x)] \, dx$$ Sustituimos las funciones: $$A = \int_{0}^{3} [(-x + 1) - (x^2 - 4x + 1)] \, dx$$ $$A = \int_{0}^{3} (-x^2 + 3x) \, dx$$ 💡 **Tip:** Siempre resta la función superior menos la inferior para que el resultado de la integral sea positivo. Si te equivocas de orden, el resultado será el mismo pero negativo.

Calculamos la primitiva de la función: $$\int (-x^2 + 3x) \, dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2}$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** entre los límites $0$ y $3$: $$A = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} \right]_{0}^{3}$$ Evaluamos en el límite superior e inferior: - En $x=3$: $\left( -\frac{3^3}{3} + \frac{3 \cdot 3^2}{2} \right) = -\frac{27}{3} + \frac{27}{2} = -9 + 13.5 = 4.5$ - En $x=0$: $\left( -\frac{0^3}{3} + \frac{3 \cdot 0^2}{2} \right) = 0$ Restamos los valores: $$A = 4.5 - 0 = 4.5$$ O expresado en forma de fracción: $A = \frac{9}{2} \text{ u}^2$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = 4,5 \text{ u}^2}$$