Continuidad con parámetros y recta tangente

**a) Calcule el valor de $a$ para que la función sea continua. (1 punto)** Para que la función $f(x)$ sea continua en el punto de salto entre ramas $x = 0$, deben coincidir el valor de la función y el límite de la función en dicho punto: 1. **Valor de la función:** $f(0) = a$. 2. **Límite de la función:** $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{1 - e^x}{x}$. Al evaluar el límite, obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$: $$\lim_{x \to 0} \frac{1 - e^0}{0} = \frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función sea continua en $x=c$ se debe cumplir que $f(c) = \lim_{x \to c} f(x)$.

Aplicamos la **regla de L'Hôpital**, que consiste en derivar el numerador y el denominador por separado: $$\lim_{x \to 0} \frac{1 - e^x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(1 - e^x)}{\frac{d}{dx}(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{-e^x}{1}$$ Ahora, evaluamos el límite resultante: $$\lim_{x \to 0} (-e^x) = -e^0 = -1$$ Para que la función sea continua, imponemos que $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$: $$a = -1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -1}$$

**b) Calcule la ecuación de la recta tangente en $x = 1$. (1 punto)** Para hallar la ecuación de la recta tangente en $x = 1$, necesitamos el punto de tangencia $(1, f(1))$ y la pendiente $m = f'(1)$. Como $1 \neq 0$, utilizamos la primera rama de la función: $$f(1) = \frac{1 - e^1}{1} = 1 - e$$ El punto de tangencia es **$(1, 1 - e)$**. 💡 **Tip:** La ecuación de la recta tangente en $x = x_0$ es $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$.

Calculamos la función derivada $f'(x)$ para $x \neq 0$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(1 - e^x)' \cdot x - (1 - e^x) \cdot (x)'}{x^2}$$ $$f'(x) = \frac{-e^x \cdot x - (1 - e^x) \cdot 1}{x^2} = \frac{-xe^x - 1 + e^x}{x^2}$$ Evaluamos la derivada en $x = 1$ para obtener la pendiente $m$: $$m = f'(1) = \frac{-1 \cdot e^1 - 1 + e^1}{1^2} = \frac{-e - 1 + e}{1} = -1$$ La pendiente de la recta tangente es **$m = -1$**.

Sustituimos el punto $(1, 1 - e)$ y la pendiente $m = -1$ en la fórmula punto-pendiente: $$y - (1 - e) = -1(x - 1)$$ Simplificamos la expresión: $$y - 1 + e = -x + 1$$ $$y = -x + 1 + 1 - e$$ $$y = -x + 2 - e$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = -x + 2 - e}$$