Estudio de monotonía, extremos y aplicación del Teorema de Bolzano

**5. a) Estudie la monotonía (crecimiento y decrecimiento) y los extremos relativos (máximos y mínimos) de la función $f(x) = e^x(x^2 - x + 1)$. (1 punto)** Para estudiar la monotonía y los extremos, primero necesitamos hallar la derivada de la función. La función es un producto de una exponencial y un polinomio, por lo que aplicamos la regla del producto. Dada $f(x) = e^x(x^2 - x + 1)$: $$f'(x) = (e^x)'(x^2 - x + 1) + e^x(x^2 - x + 1)'$$ $$f'(x) = e^x(x^2 - x + 1) + e^x(2x - 1)$$ Factorizamos sacando factor común $e^x$: $$f'(x) = e^x(x^2 - x + 1 + 2x - 1) = e^x(x^2 + x)$$ Podemos escribirlo de forma más sencilla para encontrar las raíces: $$f'(x) = e^x \cdot x(x + 1)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de un producto es $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. Además, la derivada de $e^x$ es ella misma, $e^x$. $$\boxed{f'(x) = e^x(x^2 + x)}$$

Los puntos críticos son aquellos donde la derivada es igual a cero, $f'(x) = 0$. $$e^x(x^2 + x) = 0$$ Como la función exponencial $e^x$ es siempre positiva para cualquier valor de $x$ ($e^x \gt 0$), la igualdad a cero depende únicamente del factor polinómico: $$x^2 + x = 0 \implies x(x + 1) = 0$$ De aquí obtenemos dos soluciones: 1. $x = 0$ 2. $x + 1 = 0 \implies x = -1$ Estos son nuestros candidatos a extremos relativos. $$\boxed{x_1 = 0, \quad x_2 = -1}$$

Dividimos la recta real en intervalos usando los puntos críticos y estudiamos el signo de $f'(x)$ en cada uno. $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -1) & -1 & (-1, 0) & 0 & (0, +\infty)\\ \hline e^x & + & + & + & + & +\\ x & - & - & - & 0 & +\\ x+1 & - & 0 & + & + & +\\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & +\\ f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ - En $(-\infty, -1)$, $f'(x) \gt 0$, luego la función es **creciente**. - En $(-1, 0)$, $f'(x) \lt 0$, luego la función es **decreciente**. - En $(0, +\infty)$, $f'(x) \gt 0$, luego la función es **creciente**. $$\boxed{\text{Creciente: } (-\infty, -1) \cup (0, +\infty); \quad \text{Decreciente: } (-1, 0)}$$

A partir del análisis anterior, identificamos los extremos: - Existe un **máximo relativo** en $x = -1$ porque la función pasa de crecer a decrecer. $$y = f(-1) = e^{-1}((-1)^2 - (-1) + 1) = e^{-1}(1 + 1 + 1) = \frac{3}{e} \approx 1.103$$ - Existe un **mínimo relativo** en $x = 0$ porque la función pasa de decrecer a crecer. $$y = f(0) = e^0(0^2 - 0 + 1) = 1 \cdot 1 = 1$$ ✅ **Resultado (Apartado a):** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } (-1, 3/e), \quad \text{Mínimo relativo en } (0, 1)}$$

**b) Justifique si existe algún valor de $x$ tal que $f(x) = 2$. (1 punto)** Para resolver este apartado, utilizaremos el **Teorema de Bolzano**. Consideramos la función $g(x) = f(x) - 2$. Queremos ver si existe un $c$ tal que $g(c) = 0$. 1. **Continuidad:** $f(x) = e^x(x^2 - x + 1)$ es continua en todo $\mathbb{R}$ por ser producto de funciones continuas (exponencial y polinómica). Por tanto, $g(x) = f(x) - 2$ también es continua. 2. **Valores de la función:** Buscamos un intervalo donde la función cambie de signo. - Evaluamos en $x = 0$: $f(0) = 1$. Entonces $g(0) = 1 - 2 = -1 \lt 0$. - Buscamos un valor donde $f(x) \gt 2$. Por ejemplo, probamos con $x = 2$: $$f(2) = e^2(2^2 - 2 + 1) = 3e^2 \approx 3 \cdot (2.71)^2 \approx 22.16$$ Entonces $g(2) = 3e^2 - 2 \gt 0$. 💡 **Tip:** El Teorema de Bolzano dice que si una función $g$ es continua en $[a, b]$ y $g(a) \cdot g(b) \lt 0$, existe al menos un $c \in (a, b)$ tal que $g(c) = 0$.

Como $g(x)$ es continua en el intervalo $[0, 2]$ y toma valores de signo opuesto en los extremos ($g(0) = -1$ y $g(2) \approx 20.16$), por el **Teorema de Bolzano**, existe al menos un valor $x = c \in (0, 2)$ tal que: $$g(c) = 0 \implies f(c) - 2 = 0 \implies f(c) = 2$$ También se puede justificar observando que $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ y que $f(0) = 1$. Dado que la función es continua, por la propiedad de los valores intermedios, debe tomar todos los valores entre $1$ y $+\infty$ para $x \in [0, +\infty)$, incluyendo el valor $2$. ✅ **Resultado (Apartado b):** $$\boxed{\text{Sí, existe al menos un valor } x \in (0, 2) \text{ tal que } f(x) = 2}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x) = e^x(x^2 - x + 1)", "color": "#2563eb" }, { "id": "target", "latex": "y = 2", "color": "#ef4444", "lineStyle": "DASHED" }, { "id": "min", "latex": "(0, 1)", "color": "#16a34a", "showLabel": true }, { "id": "max", "latex": "(-1, 3/e)", "color": "#16a34a", "showLabel": true } ], "bounds": { "left": -3, "right": 2, "bottom": -1, "top": 5 } } }