Vértice y área de un paralelogramo en el espacio

**a) Calcule el cuarto vértice D. (1 punto)** En un paralelogramo $ABCD$, los lados opuestos son paralelos e iguales en longitud. Esto implica que los vectores que definen esos lados son iguales. En particular, se cumple que: $$\vec{AD} = \vec{BC}$$ Para hallar el vértice $D(x, y, z)$, planteamos la igualdad anterior utilizando las coordenadas de los puntos conocidos: - $A(1, 3, -2)$ - $B(4, 3, 1)$ - $C(1, 0, 1)$ 💡 **Tip:** Recuerda que un vector $\vec{PQ}$ se calcula restando las coordenadas del origen a las del extremo: $\vec{PQ} = Q - P$.

Primero calculamos el vector $\vec{BC}$: $$\vec{BC} = C - B = (1 - 4, 0 - 3, 1 - 1) = (-3, -3, 0)$$ Ahora, aplicamos la igualdad $\vec{AD} = \vec{BC}$, donde $\vec{AD} = D - A$: $$(x - 1, y - 3, z - (-2)) = (-3, -3, 0)$$ Igualamos componente a componente: 1. $x - 1 = -3 \implies x = -3 + 1 = -2$ 2. $y - 3 = -3 \implies y = -3 + 3 = 0$ 3. $z + 2 = 0 \implies z = -2$ Por tanto, el cuarto vértice es $D(-2, 0, -2)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{D(-2, 0, -2)}$$

**b) Calcule el área del paralelogramo. (1 punto)** El área de un paralelogramo definido por dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ con origen común es igual al módulo de su producto vectorial: $$\text{Área} = |\vec{AB} \times \vec{AD}|$$ Necesitamos los vectores de los lados que parten de $A$: - $\vec{AB} = B - A = (4 - 1, 3 - 3, 1 - (-2)) = (3, 0, 3)$ - $\vec{AD} = D - A = (-2 - 1, 0 - 3, -2 - (-2)) = (-3, -3, 0)$ 💡 **Tip:** El área de un triángulo formado por estos puntos sería la mitad del área del paralelogramo: $\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AD}|$.

Calculamos el producto vectorial $\vec{w} = \vec{AB} \times \vec{AD}$ mediante el determinante: $$\vec{w} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 0 & 3 \\ -3 & -3 & 0 \end{vmatrix}$$ Resolvemos desarrollando por Sarrus: $$\vec{w} = \vec{i}(0 \cdot 0 - 3 \cdot (-3)) - \vec{j}(3 \cdot 0 - 3 \cdot (-3)) + \vec{k}(3 \cdot (-3) - 0 \cdot (-3))$$ $$\vec{w} = \vec{i}(0 + 9) - \vec{j}(0 + 9) + \vec{k}(-9 + 0)$$ $$\vec{w} = 9\vec{i} - 9\vec{j} - 9\vec{k} = (9, -9, -9)$$ 💡 **Tip:** Un producto vectorial siempre da como resultado un vector perpendicular a los dos originales.

El área es el módulo del vector resultante $(9, -9, -9)$: $$\text{Área} = |(9, -9, -9)| = \sqrt{9^2 + (-9)^2 + (-9)^2}$$ $$\text{Área} = \sqrt{81 + 81 + 81} = \sqrt{243}$$ Podemos simplificar el radical factorizando: $$\sqrt{243} = \sqrt{81 \cdot 3} = 9\sqrt{3}$$ Si calculamos el valor decimal aproximado: $$\text{Área} \approx 15.59 \text{ unidades}^2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = 9\sqrt{3} \text{ u}^2}$$