Posición relativa y distancia entre recta y plano

**a) Estudie la posición relativa de la recta respecto del plano. (1 punto)** En primer lugar, extraemos el vector normal del plano $\Pi$ y un punto y un vector director de la recta $r$. Para el plano $\Pi: 2x + y - z - 2 = 0$, el vector normal es: $$\vec{n}_{\Pi} = (2, 1, -1)$$ Para la recta $r: \dfrac{x}{3} = \dfrac{y - 2}{-3} = \dfrac{z - 1}{3}$, que está expresada en su forma continua, identificamos: - Un punto de la recta: $P_r = (0, 2, 1)$ - Un vector director: $\vec{v}_r = (3, -3, 3)$ 💡 **Tip:** Para trabajar con números más sencillos, podemos simplificar el vector director de la recta, ya que solo nos interesa su dirección: $\vec{v}_r' = (1, -1, 1)$ (dividiendo por 3). No obstante, usaremos el original para evitar confusiones.

Para conocer la posición relativa, estudiamos si el vector director de la recta es perpendicular al vector normal del plano. Si lo es, la recta será paralela al plano o estará contenida en él. Calculamos el producto escalar $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_{\Pi}$: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_{\Pi} = (3, -3, 3) \cdot (2, 1, -1) = 3(2) + (-3)(1) + 3(-1) = 6 - 3 - 3 = 0$$ Como el producto escalar es **0**, los vectores son perpendiculares ($\vec{v}_r \perp \vec{n}_{\Pi}$), lo que implica que la recta $r$ es paralela a la superficie del plano $\Pi$. 💡 **Tip:** Si el producto escalar hubiera sido distinto de cero, la recta y el plano serían secantes (se cortarían en un punto).

Ahora debemos comprobar si el punto $P_r(0, 2, 1)$ pertenece al plano $\Pi$ sustituyendo sus coordenadas en la ecuación del plano: $$2(0) + (2) - (1) - 2 = 0 + 2 - 1 - 2 = -1$$ Como $-1 \neq 0$, el punto $P_r$ **no pertenece** al plano. Al ser el vector director perpendicular al normal y no tener puntos en común, concluimos que: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La recta } r \text{ es paralela al plano } \Pi}$$

**b) Calcule la distancia de la recta al plano. (1 punto)** Dado que la recta $r$ es paralela al plano $\Pi$, la distancia de la recta al plano es constante para cualquier punto de la recta. Por tanto: $$d(r, \Pi) = d(P_r, \Pi)$$ Utilizamos la fórmula de la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$: $$d(P, \Pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituimos los valores de $P_r(0, 2, 1)$ y el plano $2x + y - z - 2 = 0$: $$d(r, \Pi) = \frac{|2(0) + 1(2) - 1(1) - 2|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2}}$$ Operamos en el numerador y el denominador: $$d(r, \Pi) = \frac{|0 + 2 - 1 - 2|}{\sqrt{4 + 1 + 1}} = \frac{|-1|}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$$ Racionalizamos el resultado multiplicando por $\sqrt{6}$ en el numerador y denominador: $$d(r, \Pi) = \frac{\sqrt{6}}{6}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(r, \Pi) = \dfrac{\sqrt{6}}{6} \text{ unidades de longitud}}$$