Discusión de un sistema de ecuaciones lineales con parámetro

Para discutir el sistema, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$. $$A = \begin{pmatrix} 1 & \lambda & -1 \\ -\lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda + 3 & -2 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & \lambda & -1 & 1 \\ -\lambda & 1 & 0 & \lambda \\ 0 & \lambda + 3 & -2 & 4 \end{pmatrix}$$ El estudio del rango de $A$ en función de $\lambda$ nos permitirá aplicar el **Teorema de Rouché-Frobenius**. 💡 **Tip:** Recuerda que un sistema es compatible determinado si el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la ampliada e igual al número de incógnitas.

Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & \lambda & -1 \\ -\lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda + 3 & -2 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [1 \cdot 1 \cdot (-2) + (-\lambda) \cdot (\lambda + 3) \cdot (-1) + 0 \cdot \lambda \cdot 0] - [(-1) \cdot 1 \cdot 0 + 0 \cdot (\lambda + 3) \cdot 1 + (-2) \cdot (-\lambda) \cdot \lambda]$$ $$|A| = [-2 + \lambda(\lambda + 3) + 0] - [0 + 0 + 2\lambda^2]$$ $$|A| = -2 + \lambda^2 + 3\lambda - 2\lambda^2 = -\lambda^2 + 3\lambda - 2$$ Para encontrar los valores críticos, igualamos el determinante a cero: $$-\lambda^2 + 3\lambda - 2 = 0 \implies \lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$\lambda = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{9-8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$$ Obtenemos los valores: $$\boxed{\lambda_1 = 1, \quad \lambda_2 = 2}$$

Si $\lambda \neq 1$ y $\lambda \neq 2$, el determinante de $A$ es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Por tanto: - $\text{rango}(A) = 3$ - $\text{rango}(A^*) = 3$ (ya que no puede ser mayor que 3 y contiene a $A$) - El número de incógnitas es $n = 3$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Determinado** (tiene solución única). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } \lambda \in \mathbb{R} \setminus \{1, 2\}, \text{ el sistema es SCD}}$$

Si $\lambda = 1$, el determinante $|A| = 0$, por lo que $\text{rango}(A) < 3$. La matriz ampliada es: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & -2 & 4 \end{pmatrix}$$ Buscamos un menor de orden 2 no nulo en $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - (-1) = 2 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Ahora estudiamos el rango de $A^*$ orlando dicho menor con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & 4 \end{vmatrix} = (4 + 0 - 4) - (0 + 4 - 4) = 0$$ Dado que todas las columnas de la ampliada son dependientes (observa que la columna 2 y la columna 4 son idénticas), el $\text{rango}(A^*) = 2$. Como $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 < 3$ (nº incógnitas), el sistema es **Compatible Indeterminado**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } \lambda = 1, \text{ el sistema es SCI}}$$

Si $\lambda = 2$, el determinante $|A| = 0$, por lo que $\text{rango}(A) < 3$. La matriz ampliada es: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 \\ -2 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & -2 & 4 \end{pmatrix}$$ Buscamos un menor de orden 2 no nulo en $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - (-4) = 5 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Estudiamos el rango de $A^*$ orlando el menor: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -2 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & 4 \end{vmatrix} = (4 + 0 - 10) - (0 + 10 - 16) = -6 - (-6) = 0$$ Como el determinante es 0, y si probamos con otros menores: $$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 5 & -2 & 4 \end{vmatrix} = (0 - 10 - 2) - (0 - 8 - 4) = -12 + 12 = 0$$ Todos los menores de orden 3 de la ampliada son cero (podemos notar que $F_3 = 2F_1 + F_2$). Por tanto, el $\text{rango}(A^*) = 2$. Como $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 < 3$ (nº incógnitas), el sistema es **Compatible Indeterminado**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } \lambda = 2, \text{ el sistema es SCI}}$$