Invertibilidad de una matriz con parámetros y cálculo de la inversa

**a) Estudie los valores de $k \in \mathbb{R}$ para los que la matriz tiene inversa. (1 punto)** Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). En primer lugar, calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & k \\ 2 & -k & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [1 \cdot (-k) \cdot (-1) + (-1) \cdot 1 \cdot 1 + k \cdot 2 \cdot (-1)] - [1 \cdot (-k) \cdot k + (-1) \cdot 2 \cdot (-1) + k \cdot (-1) \cdot (-1)]$$ Operamos los productos: $$|A| = [k - 1 - 2k] - [-k^2 + 2 + k]$$ $$|A| = -k - 1 + k^2 - 2 - k$$ $$|A| = k^2 - 2k - 3$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que exista $A^{-1}$, es condición necesaria y suficiente que $\det(A) \neq 0$.

Para hallar los valores que anulan el determinante, resolvemos la ecuación de segundo grado: $$k^2 - 2k - 3 = 0$$ Aplicamos la fórmula general: $$k = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}$$ Obtenemos dos soluciones: - $k_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3$ - $k_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1$ Por tanto, el determinante es cero si $k = 3$ o $k = -1$. En consecuencia, la matriz tendrá inversa para cualquier valor real distinto de estos dos. ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{\text{Existe } A^{-1} \text{ para } k \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 3\}}$$

**b) Calcule la inversa para $k = 1$. (1 punto)** Primero, sustituimos $k = 1$ en la matriz $A$ y comprobamos que tiene inversa calculando su determinante: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$$ Usando la expresión del determinante hallada en el apartado anterior $k^2 - 2k - 3$: $$|A|_{k=1} = 1^2 - 2(1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$$ Como $|A| = -4 \neq 0$, la matriz es invertible. 💡 **Tip:** La fórmula para la matriz inversa es $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot (\text{Adj}(A))^t$.

Calculamos cada uno de los elementos de la matriz de adjuntos $\text{Adj}(A)$: $$A_{11} = +\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = 1 - (-1) = 2$$ $$A_{12} = -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -(-2 - 1) = 3$$ $$A_{13} = +\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -2 - (-1) = -1$$ $$A_{21} = -\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = -(1 - (-1)) = -2$$ $$A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -1 - 1 = -2$$ $$A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -(-1 - (-1)) = 0$$ $$A_{31} = +\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -1 - (-1) = 0$$ $$A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -(1 - 2) = 1$$ $$A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -1 - (-2) = 1$$ La matriz de adjuntos es: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\ -2 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

Trasponemos la matriz de adjuntos: $$(\text{Adj}(A))^t = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Finalmente, aplicamos la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot (\text{Adj}(A))^t$ dividiendo cada elemento por $|A| = -4$: $$A^{-1} = \frac{1}{-4} \begin{pmatrix} 2 & -2 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2/4 & 2/4 & 0 \\ -3/4 & 2/4 & -1/4 \\ 1/4 & 0 & -1/4 \end{pmatrix}$$ Simplificando las fracciones: ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} -1/2 & 1/2 & 0 \\ -3/4 & 1/2 & -1/4 \\ 1/4 & 0 & -1/4 \end{pmatrix}}$$