Probabilidad en una distribución normal del radio de un pistón

**a) Calcule la probabilidad de que un pistón tenga un radio mayor que $5,01$ cm. (1 punto)** En primer lugar, definimos la variable aleatoria que describe el experimento: $X =$ "radio del pistón en cm". El enunciado indica que $X$ sigue una distribución normal con media $\mu = 5$ y desviación típica $\sigma = 0,01$, es decir: $$X \sim N(5, \, 0,01)$$ Para calcular probabilidades en una normal cualquiera, debemos **tipificar** la variable para convertirla en una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante la fórmula: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la tipificación permite utilizar las tablas de la normal estándar $N(0, 1)$ para hallar las probabilidades correspondientes.

Queremos hallar $P(X \gt 5,01)$. Realizamos la tipificación: $$P(X \gt 5,01) = P\left(Z \gt \frac{5,01 - 5}{0,01}\right) = P\left(Z \gt \frac{0,01}{0,01}\right) = P(Z \gt 1)$$ Como las tablas de la normal estándar suelen ofrecer la probabilidad acumulada a la izquierda $P(Z \le z)$, aplicamos la propiedad del complementario: $$P(Z \gt 1) = 1 - P(Z \le 1)$$ Buscando en la tabla de la $N(0, 1)$ el valor para $z = 1,00$, obtenemos $0,8413$. $$1 - 0,8413 = 0,1587$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \gt 5,01) = 0,1587}$$

**b) Calcule la probabilidad de que un pistón tenga un radio entre $4,98$ y $5$ cm. (1 punto)** Se nos pide calcular $P(4,98 \lt X \lt 5)$. Tipificamos ambos valores del intervalo: $$P(4,98 \lt X \lt 5) = P\left(\frac{4,98 - 5}{0,01} \lt Z \lt \frac{5 - 5}{0,01}\right)$$ $$= P\left(\frac{-0,02}{0,01} \lt Z \lt 0\right) = P(-2 \lt Z \lt 0)$$ La probabilidad de un intervalo se calcula como la diferencia de las probabilidades acumuladas: $$P(-2 \lt Z \lt 0) = P(Z \lt 0) - P(Z \lt -2)$$ Sabemos que por simetría $P(Z \lt 0) = 0,5$. Para el valor negativo, usamos la propiedad $P(Z \lt -z) = 1 - P(Z \le z)$: $$P(Z \lt -2) = P(Z \gt 2) = 1 - P(Z \le 2)$$ Buscamos $z = 2,00$ en la tabla, que es $0,9772$: $$P(Z \lt -2) = 1 - 0,9772 = 0,0228$$ Restamos los valores obtenidos: $$0,5 - 0,0228 = 0,4772$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(4,98 \lt X \lt 5) = 0,4772}$$