Probabilidad de audiencias en debates electorales

**a) Calcule la probabilidad de que viera los dos debates. (1 punto)** En primer lugar, definimos los sucesos principales basados en el enunciado: - $L$: La persona encuestada vio el debate del lunes. - $M$: La persona encuestada vio el debate del martes. Datos proporcionados por el problema (sobre un total de $N = 1500$ personas): - $n(L) = 1100$ - $n(M) = 1000$ - $n(\overline{L} \cap \overline{M}) = 300$ (no vieron ninguno) Para organizar esta información, lo más sencillo es construir una **tabla de contingencia** con las frecuencias absolutas: $$\begin{array}{c|c|c|c} & M & \overline{M} & \text{Total} \\ \hline L & 900 & 200 & 1100 \\ \overline{L} & 100 & 300 & 400 \\ \hline \text{Total} & 1000 & 500 & 1500 \end{array}$$ **¿Cómo hemos completado la tabla?** 1. El total de personas es $1500$. 2. $n(\overline{L} \cap \overline{M}) = 300$ se coloca en la intersección de no lunes y no martes. 3. Si $n(L) = 1100$, entonces $n(\overline{L}) = 1500 - 1100 = 400$. 4. Si $n(M) = 1000$, entonces $n(\overline{M}) = 1500 - 1000 = 500$. 5. Por diferencia, obtenemos el resto: $n(\overline{L} \cap M) = 400 - 300 = 100$, y así sucesivamente hasta hallar $n(L \cap M) = 900$. 💡 **Tip:** Las tablas de contingencia son ideales cuando nos dan datos sobre dos sucesos que se cruzan, permitiendo visualizar rápidamente todas las intersecciones.

Para responder al apartado a), buscamos la probabilidad de que una persona viera los dos debates, es decir, $P(L \cap M)$. Utilizando la regla de Laplace y los datos de la tabla: $$P(L \cap M) = \frac{\text{Casos favorables}}{\text{Casos posibles}} = \frac{n(L \cap M)}{N}$$ Sustituimos los valores: $$P(L \cap M) = \frac{900}{1500}$$ Simplificamos la fracción: $$P(L \cap M) = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} = 0.6$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(L \cap M) = 0.6}$$ (También se podría expresar como el $60\%$ de probabilidad).

**b) Si vio el debate del lunes, calcule la probabilidad de que viera el del martes. (1 punto)** Este apartado nos pide una **probabilidad condicionada**. Sabemos que la persona vio el debate del lunes ($L$), por lo que queremos calcular $P(M|L)$. La fórmula de la probabilidad condicionada es: $$P(M|L) = \frac{P(M \cap L)}{P(L)}$$ Calculamos previamente las probabilidades necesarias (o usamos directamente las frecuencias de la tabla): - $P(M \cap L) = \frac{900}{1500}$ - $P(L) = \frac{1100}{1500}$ Sustituimos en la fórmula: $$P(M|L) = \frac{900/1500}{1100/1500} = \frac{900}{1100}$$ Simplificamos: $$P(M|L) = \frac{9}{11} \approx 0.8182$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en $P(A|B)$, el suceso $B$ es el que ya ha ocurrido y actúa como nuestro nuevo "universo" o denominador. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M|L) = \frac{9}{11} \approx 0.8182}$$