Integral racional por descomposición en fracciones simples

**8. Calcule la integral $\int \frac{3x}{x^2 - x - 2} dx$. (2 puntos)** Estamos ante una integral racional donde el grado del numerador ($1$) es menor que el grado del denominador ($2$). El primer paso es encontrar las raíces del denominador para factorizarlo: $$x^2 - x - 2 = 0$$ Usamos la fórmula general de la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$$ Las raíces son: - $x_1 = \frac{1+3}{2} = 2$ - $x_2 = \frac{1-3}{2} = -1$ Por tanto, el denominador se factoriza como **$(x - 2)(x + 1)$**. 💡 **Tip:** Si el grado del numerador fuera mayor o igual al del denominador, primero tendríamos que realizar la división de polinomios.

Como las raíces son reales y distintas, descomponemos la fracción original en una suma de fracciones simples con coeficientes desconocidos $A$ y $B$: $$\frac{3x}{(x - 2)(x + 1)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 1}$$ Para hallar $A$ y $B$, igualamos los numeradores tras obtener el común denominador: $$3x = A(x + 1) + B(x - 2)$$ 💡 **Tip:** Este método se basa en que dos fracciones con el mismo denominador son iguales si sus numeradores son idénticos para cualquier valor de $x$.

Para encontrar los valores de $A$ y $B$, damos a $x$ los valores de las raíces halladas anteriormente: - **Si $x = 2$:** $$3(2) = A(2 + 1) + B(2 - 2) \implies 6 = 3A \implies \mathbf{A = 2}$$ - **Si $x = -1$:** $$3(-1) = A(-1 + 1) + B(-1 - 2) \implies -3 = -3B \implies \mathbf{B = 1}$$ Por lo tanto, la fracción se puede escribir como: $$\frac{3x}{x^2 - x - 2} = \frac{2}{x - 2} + \frac{1}{x + 1}$$

Sustituimos la descomposición en la integral y aplicamos la linealidad (la integral de la suma es la suma de las integrales): $$\int \frac{3x}{x^2 - x - 2} dx = \int \left( \frac{2}{x - 2} + \frac{1}{x + 1} \right) dx$$ $$\int \frac{2}{x - 2} dx + \int \frac{1}{x + 1} dx$$ Ambas son integrales inmediatas de tipo logarítmico: $$2\ln|x - 2| + \ln|x + 1| + C$$ Opcionalmente, usando las propiedades de los logaritmos ($n\ln a = \ln a^n$ y $\ln a + \ln b = \ln(a \cdot b)$), podemos simplificar la expresión: $$\ln(x - 2)^2 + \ln|x + 1| + C = \ln|(x - 2)^2(x + 1)| + C$$ 💡 **Tip:** No olvides nunca añadir la constante de integración $C$ en las integrales indefinidas. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int \frac{3x}{x^2 - x - 2} dx = 2\ln|x - 2| + \ln|x + 1| + C}$$