Área encerrada entre una parábola y una recta

Para poder representar la región y calcular el área, primero debemos hallar los puntos donde ambas funciones se intersecan. Estos puntos marcarán los límites de integración. Igualamos $f(x)$ y $g(x)$: $$1 - x^2 = -3$$ $$-x^2 = -3 - 1$$ $$-x^2 = -4 \implies x^2 = 4$$ $$x = \pm \sqrt{4} = \pm 2$$ Los puntos de corte son $(-2, -3)$ y $(2, -3)$. 💡 **Tip:** Al resolver $x^2 = a$, recuerda que siempre existen dos soluciones: $\pm\sqrt{a}$.

**a) Represente la región plana encerrada por las funciones $f(x)$ y $g(x)$. (0,5 puntos)** Analizamos las gráficas: - $f(x) = 1 - x^2$ es una parábola con las ramas hacia abajo (cóncava). Su vértice está en $(0, 1)$ y corta al eje $X$ en $x=1$ y $x=-1$. - $g(x) = -3$ es una recta horizontal que pasa por $y = -3$. La región encerrada se encuentra entre los valores de abscisa $x = -2$ y $x = 2$, donde la parábola está por encima de la recta. ✅ **Resultado gráfico:**

**b) Calcule el área de la región anterior. (1,5 puntos)** El área de la región encerrada entre dos funciones en un intervalo $[a, b]$ se calcula mediante la integral definida de la función superior menos la función inferior: $$A = \int_{a}^{b} [\text{f. superior} - \text{f. inferior}] \, dx$$ En nuestro caso, en el intervalo $[-2, 2]$, la función superior es $f(x) = 1 - x^2$ y la inferior es $g(x) = -3$. $$A = \int_{-2}^{2} [ (1 - x^2) - (-3) ] \, dx$$ Simplificamos el integrando: $$A = \int_{-2}^{2} (1 - x^2 + 3) \, dx = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx$$ 💡 **Tip:** Siempre comprueba cuál es la función "techo" y cuál es la "suelo" en el intervalo para que el área resulte positiva.

Calculamos la primitiva de la función $h(x) = 4 - x^2$: $$\int (4 - x^2) \, dx = 4x - \frac{x^3}{3} + C$$ Ahora aplicamos la **Regla de Barrow** en los límites $[-2, 2]$: $$A = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2}$$ Sustituimos el límite superior ($x=2$): $$F(2) = 4(2) - \frac{2^3}{3} = 8 - \frac{8}{3} = \frac{24 - 8}{3} = \frac{16}{3}$$ Sustituimos el límite inferior ($x=-2$): $$F(-2) = 4(-2) - \frac{(-2)^3}{3} = -8 - \left( -\frac{8}{3} \right) = -8 + \frac{8}{3} = \frac{-24 + 8}{3} = -\frac{16}{3}$$ Calculamos la diferencia: $$A = F(2) - F(-2) = \frac{16}{3} - \left( -\frac{16}{3} \right) = \frac{16}{3} + \frac{16}{3} = \frac{32}{3}$$ Como es un área, el resultado se expresa en unidades cuadradas ($u^2$). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = \frac{32}{3} \approx 10,67 \, u^2}$$