Cálculo de parámetros para la derivabilidad de una función a trozos

**6. Calcule los valores de $a$ y $b$ sabiendo que la siguiente función $f(x)$ es derivable en todo su dominio.** Para que una función sea derivable en todo su dominio, primero debe ser **continua** en él. El único punto donde la continuidad podría verse comprometida es en el salto entre ramas, en $x = 1$. Para que $f(x)$ sea continua en $x = 1$, los límites laterales deben ser iguales al valor de la función en ese punto: 1. Valor de la función: $f(1) = 2(1)^2 + a(1) + b = 2 + a + b$ 2. Límite por la izquierda ($x \to 1^-$): $\lim_{x \to 1^-} (2x^2 + ax + b) = 2 + a + b$ 3. Límite por la derecha ($x \to 1^+$): $\lim_{x \to 1^+} (-2 + \ln(x)) = -2 + \ln(1) = -2 + 0 = -2$ Igualamos para obtener la primera condición: $$2 + a + b = -2 \implies a + b = -4$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivabilidad implica continuidad, pero la continuidad no siempre implica derivabilidad. Siempre debemos asegurar que la función no tenga saltos antes de analizar las pendientes.

Si la función es continua, estudiamos su derivabilidad analizando las derivadas laterales en $x = 1$. Primero calculamos la función derivada en las regiones donde es trivial: $$f'(x) = \begin{cases} 4x + a & \text{si } x \lt 1 \\ \dfrac{1}{x} & \text{si } x \gt 1 \end{cases}$$ Para que sea derivable en $x = 1$, las derivadas laterales deben coincidir: - Derivada por la izquierda: $f'(1^-) = 4(1) + a = 4 + a$ - Derivada por la derecha: $f'(1^+) = \dfrac{1}{1} = 1$ Igualamos ambas expresiones: $$4 + a = 1$$ Despejamos **$a$**: $$a = 1 - 4 \implies \boxed{a = -3}$$ 💡 **Tip:** Al derivar $\ln(x)$, obtenemos $1/x$. Recuerda que en el punto de cambio de rama, evaluamos el límite de la derivada para asegurar que la curva sea suave (sin picos).

Una vez hallado el valor de $a$, sustituimos en la ecuación obtenida en el paso 1 para hallar $b$: Sustituimos $a = -3$ en $a + b = -4$: $$-3 + b = -4$$ Despejamos **$b$**: $$b = -4 + 3 \implies \boxed{b = -1}$$ Por tanto, los valores que hacen que la función sea derivable en todo su dominio son: $$\boxed{a = -3, \quad b = -1}$$ La función resultante es: $$f(x) = \begin{cases} 2x^2 - 3x - 1 & \text{si } x \le 1 \\ -2 + \ln(x) & \text{si } x > 1 \end{cases}$$