Estudio completo y representación de una función racional

**a) Estudie las asíntotas, la monotonía (crecimiento y decrecimiento) y los extremos relativos (máximos y mínimos) de la función $f(x)$. (1,5 puntos)** Para estudiar las asíntotas, primero determinamos el dominio de la función. Al ser una función racional, el dominio son todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador: $$1 + x^2 = 0 \implies x^2 = -1$$ Como no existen números reales cuyo cuadrado sea negativo, el denominador nunca se anula. Por tanto: $$\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$$ Al no haber puntos de discontinuidad ni valores donde la función tienda a infinito, concluimos que: ✅ **Resultado (Asíntotas Verticales):** $$\boxed{\text{No existen asíntotas verticales}}$$

Buscamos la existencia de asíntotas horizontales calculando el límite en el infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{4x}{1 + x^2} = 0$$ Dado que el grado del denominador (2) es mayor que el grado del numerador (1), el límite es $0$. Esto indica que existe una asíntota horizontal en la recta $y = 0$ (el eje $X$) tanto para $+\infty$ como para $-\infty$. Al existir una asíntota horizontal, queda descartada la existencia de asíntotas oblicuas. 💡 **Tip:** Si el grado del numerador es exactamente una unidad mayor que el del denominador, existe asíntota oblicua. Si es igual o menor, existe horizontal. ✅ **Resultado (Asíntotas Horizontales):** $$\boxed{y = 0}$$ ✅ **Resultado (Asíntotas Oblicuas):** $$\boxed{\text{No existen asíntotas oblicuas}}$$

Para estudiar la monotonía y los extremos, calculamos la primera derivada $f'(x)$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(4x)'(1 + x^2) - (4x)(1 + x^2)'}{(1 + x^2)^2}$$ $$f'(x) = \frac{4(1 + x^2) - 4x(2x)}{(1 + x^2)^2} = \frac{4 + 4x^2 - 8x^2}{(1 + x^2)^2} = \frac{4 - 4x^2}{(1 + x^2)^2}$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$f'(x) = 0 \implies 4 - 4x^2 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de un cociente es $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos $x = -1$ y $x = 1$. El denominador $(1 + x^2)^2$ siempre es positivo, por lo que el signo depende solo del numerador $4 - 4x^2$. $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,1) & 1 & (1,+\infty)\\\hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & -\\\hline \text{Función} & \searrow & \min & \nearrow & \text{máx} & \searrow \end{array}$$ - En $(-\infty, -1)$, elegimos $x=-2$: $f'(-2) = \frac{4-16}{25} \lt 0$ (**Decreciente**). - En $(-1, 1)$, elegimos $x=0$: $f'(0) = \frac{4}{1} \gt 0$ (**Creciente**). - En $(1, +\infty)$, elegimos $x=2$: $f'(2) = \frac{4-16}{25} \lt 0$ (**Decreciente**). ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Creciente en } (-1, 1); \text{ Decreciente en } (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)}$$

Basándonos en el cambio de signo de la derivada: - En $x = -1$ hay un **mínimo relativo** (pasa de decrecer a crecer). - En $x = 1$ hay un **máximo relativo** (pasa de crecer a decrecer). Calculamos sus coordenadas $y$ sustituyendo en la función original $f(x)$: $$f(-1) = \frac{4(-1)}{1 + (-1)^2} = \frac{-4}{2} = -2 \implies \mathbf{m(-1, -2)}$$ $$f(1) = \frac{4(1)}{1 + (1)^2} = \frac{4}{2} = 2 \implies \mathbf{M(1, 2)}$$ ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Mínimo relativo: } (-1, -2), \text{ Máximo relativo: } (1, 2)}$$

**b) Con los datos obtenidos en el apartado anterior, represente de forma aproximada la gráfica de la función $f(x)$. (0,5 puntos)** Resumimos los datos para la gráfica: 1. Dominio: $\mathbb{R}$. 2. Asíntota horizontal: $y = 0$. 3. Puntos de corte: Si $x=0$, $f(0)=0$. Pasa por el origen $(0,0)$. 4. Máximo en $(1, 2)$ y mínimo en $(-1, -2)$. 5. La función es impar, ya que $f(-x) = -f(x)$, lo que implica simetría respecto al origen.