Recta paralela a dos planos

Para hallar el plano $\Pi_1$, necesitamos dos vectores directores contenidos en él. Utilizaremos los puntos $A(0, 1, 1)$, $B(2, 0, 2)$ y $C(1, 2, 6)$: $$\vec{u} = \vec{AB} = (2-0, 0-1, 2-1) = (2, -1, 1)$$ $$\vec{v} = \vec{AC} = (1-0, 2-1, 6-1) = (1, 1, 5)$$ El vector normal al plano $\Pi_1$, que llamaremos $\vec{n}_1$, se obtiene mediante el producto vectorial de $\vec{u}$ y $\vec{v}$: $$\vec{n}_1 = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 5 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante por Sarrus: $$\vec{n}_1 = \mathbf{i}(-1 \cdot 5 - 1 \cdot 1) - \mathbf{j}(2 \cdot 5 - 1 \cdot 1) + \mathbf{k}(2 \cdot 1 - (-1) \cdot 1)$$ $$\vec{n}_1 = -6\mathbf{i} - 9\mathbf{j} + 3\mathbf{k} = (-6, -9, 3)$$ Para simplificar los cálculos, podemos usar un vector proporcional: **$\vec{n}_1 = (-2, -3, 1)$**. 💡 **Tip:** Un vector normal $\vec{n}=(A, B, C)$ define la orientación de un plano $Ax + By + Cz + D = 0$.

Aunque no es estrictamente necesario hallar la ecuación completa del plano para encontrar la dirección de la recta, nos servirá para comprobar que la recta no está contenida en él. La ecuación de $\Pi_1$ es $-2x - 3y + z + D = 0$. Sustituimos el punto $A(0, 1, 1)$: $$-2(0) - 3(1) + 1 + D = 0 \implies -2 + D = 0 \implies D = 2$$ Por tanto, $\Pi_1: -2x - 3y + z + 2 = 0$. Para el plano $\Pi_2: x - y + z = 3$, su vector normal se extrae directamente de los coeficientes de las variables: **$\vec{n}_2 = (1, -1, 1)$**. $$\boxed{\Pi_1: -2x - 3y + z + 2 = 0, \quad \vec{n}_2 = (1, -1, 1)}$$

Si una recta $r$ es paralela a dos planos, su vector director $\vec{d}_r$ debe ser perpendicular a los vectores normales de ambos planos ($\vec{n}_1$ y $\vec{n}_2$). Por tanto, $\vec{d}_r$ se obtiene mediante el producto vectorial de $\vec{n}_1$ y $\vec{n}_2$: $$\vec{d}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & -3 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolviendo el determinante: $$\vec{d}_r = \mathbf{i}(-3 - (-1)) - \mathbf{j}(-2 - 1) + \mathbf{k}(2 - (-3))$$ $$\vec{d}_r = -2\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + 5\mathbf{k} = (-2, 3, 5)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una recta es paralela a un plano, su vector director es perpendicular al vector normal del plano: $\vec{d}_r \cdot \vec{n} = 0$. $$\boxed{\vec{d}_r = (-2, 3, 5)}$$

Para que la recta no esté contenida en ninguno de los planos, debemos elegir un punto $P$ que no pertenezca a $\Pi_1$ ni a $\Pi_2$. Probamos con el origen de coordenadas $P(0, 0, 0)$: 1. En $\Pi_1$: $-2(0) - 3(0) + 0 + 2 = 2 \neq 0$. (No pertenece). 2. En $\Pi_2$: $0 - 0 + 0 = 0 \neq 3$. (No pertenece). El punto $P(0, 0, 0)$ es válido. Construimos la recta en su forma paramétrica: $$r: \begin{cases} x = -2\lambda \\ y = 3\lambda \\ z = 5\lambda \end{cases}$$ O en forma continua: $$\frac{x}{-2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{r: (x, y, z) = \lambda(-2, 3, 5)}$$