Independencia lineal de vectores con parámetros

**a) Determine los valores de $\alpha$ para que $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$ sean linealmente independientes. (1 punto)** Tres vectores en $\mathbb{R}^3$ son linealmente independientes si el determinante de la matriz formada por sus componentes es distinto de cero. Si el determinante es cero, los vectores son linealmente dependientes (están en el mismo plano o son proporcionales). Formamos la matriz $A$ con los vectores por filas (o columnas): $$A = \begin{pmatrix} 4 & 3 & \alpha \\ \alpha & 1 & 0 \\ 2\alpha & 1 & \alpha \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el determinante de tres vectores en $\mathbb{R}^3$ es no nulo, el rango de la matriz es 3 y, por tanto, los vectores forman una base de $\mathbb{R}^3$.

Calculamos el determinante de la matriz $A$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 4 & 3 & \alpha \\ \alpha & 1 & 0 \\ 2\alpha & 1 & \alpha \end{vmatrix}$$ $$|A| = (4 \cdot 1 \cdot \alpha) + (3 \cdot 0 \cdot 2\alpha) + (\alpha \cdot \alpha \cdot 1) - (\alpha \cdot 1 \cdot 2\alpha) - (0 \cdot 1 \cdot 4) - (\alpha \cdot 3 \cdot \alpha)$$ Operamos cada término: $$|A| = 4\alpha + 0 + \alpha^2 - 2\alpha^2 - 0 - 3\alpha^2$$ $$|A| = 4\alpha - 4\alpha^2$$ 💡 **Tip:** Ten mucho cuidado con los signos al aplicar Sarrus, especialmente en los términos que restan.

Para que los vectores sean linealmente independientes, buscamos los valores donde el determinante es distinto de cero: $$4\alpha - 4\alpha^2 \neq 0$$ Primero resolvemos la ecuación igualada a cero para hallar los valores de dependencia: $$4\alpha(1 - \alpha) = 0$$ Esto nos da dos soluciones: 1. $4\alpha = 0 \implies \alpha = 0$ 2. $1 - \alpha = 0 \implies \alpha = 1$ Por tanto, los vectores son linealmente independientes para cualquier valor de $\alpha$ distinto de 0 y 1. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1\}}$$

**b) Para el valor $\alpha = 1$ exprese $\vec{w}$ como combinación lineal de $\vec{u}$ y $\vec{v}$. (1 punto)** Si $\alpha = 1$, los vectores son: $\vec{u} = (4, 3, 1)$ $\vec{v} = (1, 1, 0)$ $\vec{w} = (2, 1, 1)$ Expresar $\vec{w}$ como combinación lineal de $\vec{u}$ y $\vec{v}$ significa encontrar dos escalares $x, y$ tales que: $$\vec{w} = x\vec{u} + y\vec{v}$$ Sustituimos las componentes: $$(2, 1, 1) = x(4, 3, 1) + y(1, 1, 0)$$ Esto genera el siguiente sistema de ecuaciones lineales: $$\begin{cases} 4x + y = 2 \\ 3x + y = 1 \\ x = 1 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** En el apartado anterior vimos que si $\alpha=1$ el determinante es 0, lo que garantiza que los vectores son dependientes y, por tanto, uno puede escribirse como combinación de los otros.

Resolvemos el sistema de ecuaciones: De la tercera ecuación obtenemos directamente el valor de $x$: $$x = 1$$ Sustituimos $x = 1$ en la segunda ecuación para hallar $y$: $$3(1) + y = 1 \implies 3 + y = 1 \implies y = 1 - 3 \implies y = -2$$ Finalmente, comprobamos que estos valores cumplen la primera ecuación (la condición de consistencia): $$4(1) + (-2) = 4 - 2 = 2$$ Como se cumple, la combinación lineal es correcta. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\vec{w} = \vec{u} - 2\vec{v}}$$