Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**a) Estudie en función del parámetro $\lambda \in \mathbb{R}$ el siguiente sistema de ecuaciones: (1,25 puntos)** Para estudiar el sistema, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \lambda \\ 1 & 1 & \lambda \\ \lambda & -1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \lambda & 1 \\ 1 & 1 & \lambda & 1 \\ \lambda & -1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de $A$ por la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & \lambda \\ 1 & 1 & \lambda \\ \lambda & -1 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1 \cdot 1) + (0 \cdot \lambda \cdot \lambda) + (1 \cdot (-1) \cdot \lambda) - [ (\lambda \cdot 1 \cdot \lambda) + (1 \cdot (-1) \cdot 1) + (0 \cdot 1 \cdot \lambda) ]$$ $$|A| = 1 + 0 - \lambda - [\lambda^2 - 1 + 0] = 1 - \lambda - \lambda^2 + 1 = 2 - \lambda - \lambda^2$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$- \lambda^2 - \lambda + 2 = 0 \implies \lambda^2 + \lambda - 2 = 0$$ $$\lambda = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$ Esto nos da los valores: **$\lambda = 1$** y **$\lambda = -2$**. 💡 **Tip:** El estudio de un sistema con parámetros suele comenzar hallando los valores que anulan el determinante de la matriz principal para aplicar el Teorema de Rouché-Frobenius.

Si **$\lambda \neq 1$** y **$\lambda \neq -2$**: Como el determinante $|A| \neq 0$, el rango de la matriz $A$ es 3. Dado que el rango de la matriz ampliada $A^*$ no puede superar 3 y contiene a $A$, tenemos que $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3$. Como este valor coincide con el número de incógnitas ($x, y, z$): Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, lo que significa que tiene una **solución única** para cada valor de $\lambda$ en este intervalo.

Si **$\lambda = 1$**: La matriz ampliada queda: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Para el rango de $A^*$, observamos que las columnas $C_1$, $C_3$ y la de términos independientes $C_4$ son idénticas. Por tanto, cualquier determinante de orden 3 que incluya a $C_4$ será cero (por tener columnas repetidas). Conclusión: $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3$ (nº incógnitas). Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**, tiene **infinitas soluciones**.

Si **$\lambda = -2$**: La matriz ampliada queda: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 & 1 \\ -2 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Ahora calculamos un menor de orden 3 de $A^*$ usando la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = (1+0-1) - (-2-1+0) = 0 - (-3) = 3 \neq 0$$ Al encontrar un menor de orden 3 no nulo en la ampliada, **$\text{rg}(A^*) = 3$**. Como $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$, según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Incompatible (SI)**, es decir, **no tiene solución**.

Recopilando los resultados del estudio según el valor de $\lambda$: - Si **$\lambda \in \mathbb{R} \setminus \{1, -2\}$**: Sistema Compatible Determinado. - Si **$\lambda = 1$**: Sistema Compatible Indeterminado. - Si **$\lambda = -2$**: Sistema Incompatible. $$\boxed{\begin{cases} \lambda \neq 1, -2 \implies \text{SCD} \\ \lambda = 1 \implies \text{SCI} \\ \lambda = -2 \implies \text{SI} \end{cases}}$$

**b) Resuelve el sistema (si es posible) para $\lambda = 1$. (0,75 puntos)** Para $\lambda = 1$, el sistema es SCI y hemos visto que el rango es 2. Podemos prescindir de una ecuación que sea combinación lineal de las otras (por ejemplo, la tercera) y quedarnos con las dos primeras: $$\left. \begin{array}{rcl} x + z & = 1 \\ x + y + z & = 1 \end{array} \right\}$$ Usamos un parámetro para una de las variables. Sea **$z = \mu$** con $\mu \in \mathbb{R}$. De la primera ecuación: $$x = 1 - z \implies \mathbf{x = 1 - \mu}$$ Sustituimos $x$ y $z$ en la segunda ecuación: $$(1 - \mu) + y + \mu = 1 \implies 1 + y = 1 \implies \mathbf{y = 0}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{cases} x = 1 - \mu \\ y = 0 \\ z = \mu \end{cases} \quad \forall \mu \in \mathbb{R}}$$ 💡 **Tip:** En un sistema indeterminado, el número de parámetros necesarios es igual a (nº incógnitas - rango).