Productos de matrices y propiedades algebraicas

**a) Calcule los productos de matrices $A \cdot B$ y $B \cdot A$. ¿Se cumple que $A \cdot B = B \cdot A$? (1 punto)** Para multiplicar dos matrices, multiplicamos cada fila de la primera matriz por cada columna de la segunda matriz, sumando los productos de sus elementos correspondientes. Calculamos $A \cdot B$: $$A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(1) + (-1)(4) & (1)(1) + (-1)(-1) \\ (2)(1) + (1)(4) & (2)(1) + (1)(-1) \end{pmatrix}$$ $$A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 - 4 & 1 + 1 \\ 2 + 4 & 2 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 6 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que el producto $M \cdot N$ sea posible, el número de columnas de $M$ debe ser igual al número de filas de $N$.

Ahora calculamos el producto en orden inverso, $B \cdot A$: $$B \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(1) + (1)(2) & (1)(-1) + (1)(1) \\ (4)(1) + (-1)(2) & (4)(-1) + (-1)(1) \end{pmatrix}$$ $$B \cdot A = \begin{pmatrix} 1 + 2 & -1 + 1 \\ 4 - 2 & -4 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 2 & -5 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** No asumas que los productos serán iguales; la multiplicación de matrices es una operación no conmutativa por defecto.

Para comprobar si $A \cdot B = B \cdot A$, comparamos las dos matrices resultantes elemento a elemento: $$A \cdot B = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 6 & 1 \end{pmatrix} \neq B \cdot A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 2 & -5 \end{pmatrix}$$ Como las matrices resultantes son distintas, concluimos que no se cumple la propiedad conmutativa en este caso. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A \cdot B = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 6 & 1 \end{pmatrix}, \quad B \cdot A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 2 & -5 \end{pmatrix} \implies A \cdot B \neq B \cdot A}$$

**b) Compruebe si es cierta la igualdad $(A + B)^2 = A^2 + B^2$. (1 punto)** Primero calculamos la suma $A + B$: $$A + B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 1 & -1 + 1 \\ 2 + 4 & 1 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 6 & 0 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos su cuadrado, $(A + B)^2$, multiplicando la matriz suma por sí misma: $$(A + B)^2 = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (2)(2) + (0)(6) & (2)(0) + (0)(0) \\ (6)(2) + (0)(6) & (6)(0) + (0)(0) \end{pmatrix}$$ $$(A + B)^2 = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 12 & 0 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** En matrices, $(A+B)^2$ se desarrolla como $(A+B)(A+B) = A^2 + AB + BA + B^2$. Solo será igual a $A^2 + B^2$ si $AB + BA = 0$.

Calculamos $A^2$: $$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-2 & -1-1 \\ 2+2 & -2+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 4 & -1 \end{pmatrix}$$ Calculamos $B^2$: $$B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+4 & 1-1 \\ 4-4 & 4+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$$ Calculamos la suma $A^2 + B^2$: $$A^2 + B^2 = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1+5 & -2+0 \\ 4+0 & -1+5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 4 & 4 \end{pmatrix}$$

Comparamos ambos resultados: $$(A + B)^2 = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 12 & 0 \end{pmatrix}$$ $$A^2 + B^2 = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 4 & 4 \end{pmatrix}$$ Observamos que las matrices son diferentes, por lo tanto, la igualdad propuesta es falsa. ✅ **Resultado:** $$\boxed{(A + B)^2 \neq A^2 + B^2. \text{ La igualdad no es cierta.}}$$