Posición relativa y distancia entre rectas

**a) Determine la posición relativa de las rectas.** Primero, extraemos un punto y un vector director de cada recta. Para la recta $r$ (en forma continua): $\frac{x-3}{2} = \frac{y-0}{1} = \frac{z-1}{1}$ - Punto $P_r = (3, 0, 1)$ - Vector director $\vec{v}_r = (2, 1, 1)$ Para la recta $s$ (en forma paramétrica implícita $(\mu, -\mu, \mu)$): $x = \mu, \; y = -\mu, \; z = \mu$ - Punto $P_s = (0, 0, 0)$ - Vector director $\vec{v}_s = (1, -1, 1)$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la ecuación continua $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$, los denominadores son las componentes del vector director y $(x_0, y_0, z_0)$ es un punto de la recta.

Comprobamos si los vectores directores $\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$ son paralelos comparando sus componentes: $$\frac{2}{1} \neq \frac{1}{-1} \neq \frac{1}{1}$$ Como las componentes no son proporcionales, los vectores no son paralelos. Por tanto, las rectas **se cortan en un punto** o **se cruzan en el espacio**. Para distinguirlo, estudiamos el rango de la matriz formada por los vectores directores y el vector que une un punto de cada recta: $\vec{P_s P_r} = P_r - P_s = (3-0, 0-0, 1-0) = (3, 0, 1)$

Calculamos el determinante de los vectores $\vec{v}_r, \vec{v}_s$ y $\vec{P_s P_r}$: $$|M| = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por la regla de Sarrus: $$|M| = [2 \cdot (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 3 + 1 \cdot 1 \cdot 0] - [3 \cdot (-1) \cdot 1 + 0 \cdot 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 \cdot 1]$$ $$|M| = [-2 + 3 + 0] - [-3 + 0 + 1] = 1 - (-2) = 3$$ Como el determinante es distinto de cero ($|M| = 3 \neq 0$), los tres vectores son linealmente independientes. Esto significa que las rectas no están en el mismo plano. ✅ **Resultado (posición relativa):** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cruzan}}$$

**b) Calcule la distancia entre la recta $r$ y la recta $s$.** La distancia entre dos rectas que se cruzan se calcula como la altura del paralelepípedo definido por los vectores $\vec{v}_r, \vec{v}_s$ y $\vec{P_s P_r}$. La fórmula es: $$d(r, s) = \frac{|[\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_s P_r}]|}{|\vec{v}_r \times \vec{v}_s|}$$ Ya conocemos el valor del producto mixto (el determinante calculado en el apartado anterior): $$|[\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_s P_r}]| = |3| = 3$$ Ahora calculamos el producto vectorial de los vectores directores. 💡 **Tip:** El producto mixto representa el volumen del paralelepípedo, y el módulo del producto vectorial de los vectores directores representa el área de su base.

Calculamos el producto vectorial $\vec{v}_r \times \vec{v}_s$: $$\vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos: $$\vec{v}_r \times \vec{v}_s = \vec{i} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v}_r \times \vec{v}_s = \vec{i}(1 - (-1)) - \vec{j}(2 - 1) + \vec{k}(-2 - 1) = (2, -1, -3)$$ Calculamos su módulo: $$|\vec{v}_r \times \vec{v}_s| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}$$ $$\boxed{|\vec{v}_r \times \vec{v}_s| = \sqrt{14}}$$

Sustituimos los valores obtenidos en la fórmula de la distancia: $$d(r, s) = \frac{3}{\sqrt{14}}$$ Racionalizando el resultado: $$d(r, s) = \frac{3\sqrt{14}}{14} \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado (distancia):** $$\boxed{d(r, s) = \dfrac{3\sqrt{14}}{14} \approx 0,802 \text{ u}}$$