Optimización del área de un pentágono inscrito

**a) Exprese en función de $x$ y $h$ el área del pentágono $ACEDB$.** Para calcular el área del pentágono $ACEDB$, lo dividiremos en dos figuras geométricas más sencillas cuya área sea fácil de calcular: 1. **Trapecio isósceles $ACDB$**: Tiene como base mayor el diámetro $AB$ de longitud $2$ (ya que el radio es $1$), como base menor la cuerda $CD$ de longitud $2x$ y como altura la distancia $h$. 2. **Triángulo isósceles $CDE$**: Su base es la cuerda $CD$ de longitud $2x$. Como el punto $E$ es el punto medio del arco $CD$ y el radio de la semicircunferencia es $1$, la altura de este triángulo será la diferencia entre el radio y la distancia $h$, es decir, $1 - h$. 💡 **Tip:** El área de un trapecio es $A_{trap} = \frac{(B+b) \cdot h}{2}$ y la de un triángulo es $A_{tri} = \frac{\text{base} \cdot \text{altura}}{2}$.

Calculamos las áreas por separado: - Área del trapecio $ACDB$: $$A_1 = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2} = \frac{(2 + 2x) \cdot h}{2} = \frac{2(1 + x)h}{2} = h + xh$$ - Área del triángulo $CDE$: $$A_2 = \frac{CD \cdot (1 - h)}{2} = \frac{2x \cdot (1 - h)}{2} = x(1 - h) = x - xh$$ Sumamos ambas áreas para obtener el área total del pentágono $A(x, h)$: $$A(x, h) = A_1 + A_2 = (h + xh) + (x - xh) = h + x$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{A(x, h) = x + h}$$

**b) ¿Cuál debe ser la distancia (indicada en la figura por $h$) a la que debe situarse la cuerda $CD$ de $AB$ para que el área del pentágono $ACEDB$ sea máxima?** Como los puntos $C$ y $D$ están sobre la semicircunferencia de radio $1$, sus coordenadas deben cumplir la ecuación de la circunferencia $x^2 + y^2 = r^2$. En nuestro caso, para el punto $D(x, h)$: $$x^2 + h^2 = 1^2 \implies x = \sqrt{1 - h^2}$$ Sustituimos esta expresión en la fórmula del área obtenida en el apartado anterior para tener una función que dependa únicamente de $h$: $$f(h) = h + \sqrt{1 - h^2}$$ El dominio físico de la variable $h$ es $h \in [0, 1]$.

Para encontrar el máximo, derivamos la función $f(h)$ respecto a $h$: $$f'(h) = \frac{d}{dh}(h) + \frac{d}{dh}(\sqrt{1 - h^2}) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{1 - h^2}} \cdot (-2h)$$ Simplificando: $$f'(h) = 1 - \frac{h}{\sqrt{1 - h^2}}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de una raíz es $( \sqrt{u} )' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$.

Igualamos la derivada a cero para encontrar los posibles extremos: $$1 - \frac{h}{\sqrt{1 - h^2}} = 0 \implies 1 = \frac{h}{\sqrt{1 - h^2}} \implies \sqrt{1 - h^2} = h$$ Elevamos ambos miembros al cuadrado para resolver la ecuación irracional: $$1 - h^2 = h^2 \implies 1 = 2h^2 \implies h^2 = \frac{1}{2}$$ $$h = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ (Tomamos solo el valor positivo ya que $h$ representa una distancia positiva). $$\boxed{h = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707}$$

Estudiamos el signo de $f'(h)$ para confirmar que se trata de un máximo relativo: $$\begin{array}{c|ccc} h & (0, \sqrt{2}/2) & \sqrt{2}/2 & (\sqrt{2}/2, 1) \\ \hline f'(h) & + & 0 & - \\ \text{Crecimiento} & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ - Si $h = 0,5 \in (0, \sqrt{2}/2)$, $f'(0,5) = 1 - \frac{0,5}{\sqrt{0,75}} > 0$. La función crece. - Si $h = 0,9 \in (\sqrt{2}/2, 1)$, $f'(0,9) = 1 - \frac{0,9}{\sqrt{0,19}} < 0$. La función decrece. Por tanto, en $h = \frac{\sqrt{2}}{2}$ el área es máxima. ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{h = \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ unidades}}$$