Rango de una matriz con parámetros y potencias

**a) Estudie el rango de la matriz $A$ para los distintos valores del parámetro $a$. [1,25 puntos]** El rango de una matriz representa el número de filas o columnas linealmente independientes. Para estudiar el rango de la matriz $A$ de orden $3 \times 3$, calculamos primero su determinante $|A|$. Aplicamos la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} a & -3 & 0 \\ 4 & a-7 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = [a(a-7)(-1) + (-3)(1)(1) + 0] - [0 + a(1)(-1) + (-3)(4)(-1)]$$ Operamos los términos: $$|A| = [-a^2 + 7a - 3] - [-a + 12]$$ $$|A| = -a^2 + 7a - 3 + a - 12 = -a^2 + 8a - 15$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el determinante de una matriz $3 \times 3$ es distinto de cero, su rango es máximo, es decir, $rg(A) = 3$. $$\boxed{|A| = -a^2 + 8a - 15}$$

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores del parámetro $a$ que reducen el rango de la matriz: $$-a^2 + 8a - 15 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$a = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4(-1)(-15)}}{2(-1)} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 60}}{-2} = \frac{-8 \pm 2}{-2}$$ Las soluciones son: $$a_1 = \frac{-6}{-2} = 3, \quad a_2 = \frac{-10}{-2} = 5$$ 💡 **Tip:** Estos valores son los únicos candidatos para los cuales el rango de la matriz $A$ será menor que 3.

Analizamos los distintos casos posibles: **Caso 1: $a \neq 3$ y $a \neq 5$** En este caso, $|A| \neq 0$, por lo tanto, las tres filas son linealmente independientes. $$\boxed{rg(A) = 3}$$ **Caso 2: $a = 3$** La matriz es $A = \begin{pmatrix} 3 & -3 & 0 \\ 4 & -4 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$. Como $|A| = 0$, el rango es menor que 3. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} -3 & 0 \\ -4 & 1 \end{vmatrix} = -3 \neq 0 \implies \boxed{rg(A) = 2}$$ **Caso 3: $a = 5$** La matriz es $A = \begin{pmatrix} 5 & -3 & 0 \\ 4 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$. Como $|A| = 0$, el rango es menor que 3. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} -3 & 0 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = -3 \neq 0 \implies \boxed{rg(A) = 2}$$

**b) Compruebe que para $a = 4$ la matriz $A$ es invertible y que se verifica que $A^{-1} = A^2$. [1,25 puntos]** Sustituimos $a = 4$ en la expresión del determinante obtenida en el apartado anterior: $$|A| = -(4)^2 + 8(4) - 15 = -16 + 32 - 15 = 1$$ Como $|A| = 1 \neq 0$, la matriz $A$ es **invertible** para $a = 4$. 💡 **Tip:** Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero. $$\boxed{\text{Si } a=4 \implies |A|=1 \neq 0, \text{ luego } A \text{ es invertible}}$$

Para comprobar que $A^{-1} = A^2$, es equivalente y más sencillo comprobar que $A \cdot A^2 = I$ (siendo $I$ la matriz identidad). Primero calculamos $A^2$ para $a = 4$, donde $A = \begin{pmatrix} 4 & -3 & 0 \\ 4 & -3 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$: $$A^2 = \begin{pmatrix} 4 & -3 & 0 \\ 4 & -3 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & -3 & 0 \\ 4 & -3 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -3 & -3 \\ 5 & -4 & -4 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Ahora multiplicamos $A \cdot A^2$: $$A \cdot A^2 = \begin{pmatrix} 4 & -3 & 0 \\ 4 & -3 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & -3 & -3 \\ 5 & -4 & -4 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ $$A \cdot A^2 = \begin{pmatrix} 16-15+0 & -12+12+0 & -12+12+0 \\ 16-15-1 & -12+12+1 & -12+12+0 \\ 4-5+1 & -3+4-1 & -3+4+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I$$ Como $A \cdot A^2 = I$, multiplicando por $A^{-1}$ por la izquierda en ambos lados, obtenemos $A^{-1} \cdot A \cdot A^2 = A^{-1} \cdot I$, lo que simplifica a: $$\boxed{A^2 = A^{-1}}$$ Queda así comprobada la igualdad.