Análisis de una función a partir de la gráfica de su derivada

**a) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x)$ en el punto de la gráfica de abscisa $x = 0$.** Para hallar la ecuación de la recta tangente en $x=0$, necesitamos dos datos fundamentales: la imagen de la función $f(0)$ y el valor de la derivada $f'(0)$. 1. **Punto de tangencia:** El enunciado indica que la gráfica de $f(x)$ pasa por el punto $(0, 1)$, por lo tanto, sabemos que: $$f(0) = 1$$ 2. **Pendiente de la tangente ($m$):** La pendiente es el valor de la derivada en el punto de abscisa indicado. Observando la gráfica de $f'(x)$ proporcionada, vemos que cuando $x = 0$, el valor de la función derivada es $0$: $$m = f'(0) = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la ecuación de la recta tangente a $f(x)$ en $x=a$ viene dada por la fórmula punto-pendiente: $y - f(a) = f'(a)(x - a)$.

Sustituimos los valores obtenidos ($a=0$, $f(0)=1$, $f'(0)=0$) en la fórmula de la recta tangente: $$y - 1 = 0 \cdot (x - 0)$$ $$y - 1 = 0$$ Despejando la variable $y$, obtenemos la ecuación final: $$y = 1$$ Esta es una recta horizontal que pasa por el punto $(0,1)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = 1}$$

**b) Encuentre las abscisas de los puntos singulares de la función $f(x)$ y clasifíquelos.** Los puntos singulares (o puntos críticos) de una función son aquellos donde su derivada es igual a cero ($f'(x) = 0$). Al observar la gráfica de $f'(x)$, buscamos los puntos de corte de dicha gráfica con el eje de abscisas (eje $X$): - Vemos que la gráfica de $f'(x)$ toca el eje $X$ únicamente en el origen de coordenadas, es decir, en $x = 0$. Por lo tanto, existe un único punto singular cuya abscisa es: $$\boxed{x = 0}$$ 💡 **Tip:** No confundas la gráfica de la función con la gráfica de su derivada. Los ceros de $f'(x)$ corresponden a los posibles máximos, mínimos o puntos de inflexión de $f(x)$.

Para clasificar el punto singular $x=0$, estudiamos el signo de la derivada $f'(x)$ en sus proximidades (monotonía de $f$): - **A la izquierda de $x=0$ ($x < 0$):** La gráfica de $f'(x)$ está por encima del eje $X$, lo que significa que $f'(x) \gt 0$. La función $f(x)$ es creciente. - **A la derecha de $x=0$ ($x > 0$):** La gráfica de $f'(x)$ también está por encima del eje $X$, por lo tanto, $f'(x) \gt 0$. La función $f(x)$ sigue siendo creciente. Resumimos el comportamiento en la siguiente tabla: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, +\infty)\\ \hline f'(x) & + & 0 & +\\ \hline f(x) & \nearrow & \text{P. Inflexión} & \nearrow \end{array}$$ Como la derivada no cambia de signo al pasar por $x=0$ (es positiva en ambos lados), la función no presenta ni un máximo ni un mínimo relativo en ese punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 0 \text{ es un punto de inflexión con tangente horizontal}}$$