Intersección de recta y plano. Plano perpendicular

**a) Calcule las coordenadas del punto de contacto $B$ del avión con el plano y la distancia recorrida.** La trayectoria del avión es una recta $r$ que pasa por el punto $A(0, 3, 1)$ y tiene la dirección del vector $v = (1, -1, 0)$. Escribimos su ecuación en forma paramétrica: $$r: \begin{cases} x = 0 + 1\lambda \\ y = 3 - 1\lambda \\ z = 1 + 0\lambda \end{cases} \implies r: \begin{cases} x = \lambda \\ y = 3 - \lambda \\ z = 1 \end{cases}$$ Para hallar el punto de contacto $B$, sustituimos las coordenadas genéricas de la recta en la ecuación del plano $\pi: x - 2y + z = 1$: $$\lambda - 2(3 - \lambda) + 1 = 1$$ Resolviendo la ecuación para $\lambda$: $$\lambda - 6 + 2\lambda + 1 = 1 \implies 3\lambda - 5 = 1 \implies 3\lambda = 6 \implies \lambda = 2$$ Sustituimos el valor $\lambda = 2$ en las ecuaciones de la recta para obtener las coordenadas de $B$: $$x = 2, \quad y = 3 - 2 = 1, \quad z = 1$$ 💡 **Tip:** El punto de contacto es la intersección entre la recta (trayectoria) y el plano (plataforma). ✅ **Resultado (Punto B):** $$\boxed{B(2, 1, 1)}$$

La distancia recorrida por el avión es la distancia entre el punto de partida $A(0, 3, 1)$ y el punto de contacto $B(2, 1, 1)$. Utilizamos la fórmula de la distancia entre dos puntos: $$d(A, B) = |\vec{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$$ Calculamos el vector $\vec{AB}$: $$\vec{AB} = (2 - 0, 1 - 3, 1 - 1) = (2, -2, 0)$$ Calculamos su módulo: $$d(A, B) = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 4 + 0} = \sqrt{8}$$ Simplificando el radical: $$d(A, B) = 2\sqrt{2} \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado (Distancia):** $$\boxed{d(A, B) = 2\sqrt{2} \approx 2,83 \text{ u}}$$

**b) Calcule la ecuación general del plano perpendicular a la plataforma y que contiene la recta $r$ seguida por el avión desde el punto $A$.** Buscamos un plano $\pi'$ que cumpla dos condiciones: 1. Contiene a la recta $r$: por tanto, pasa por $A(0, 3, 1)$ y tiene como vector director $v = (1, -1, 0)$. 2. Es perpendicular a $\pi$: por tanto, el vector normal de $\pi$, $\vec{n_\pi} = (1, -2, 1)$, será también un vector director de nuestro nuevo plano $\pi'$. 💡 **Tip:** Si un plano es perpendicular a otro, el vector normal del primero es paralelo al plano buscado, sirviendo como vector director. Los vectores directores de $\pi'$ son: $$\vec{u} = (1, -1, 0) \quad \text{y} \quad \vec{w} = (1, -2, 1)$$ Representación visual del problema:

Para obtener la ecuación general del plano $\pi'$, utilizamos el determinante formado por un punto genérico $X(x, y, z)$, el punto $A$ y los dos vectores directores: $$\begin{vmatrix} x - 0 & 1 & 1 \\ y - 3 & -1 & -2 \\ z - 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos el determinante por la regla de Sarrus: $$[(x)(-1)(1) + (y-3)(0)(1) + (z-1)(1)(-2)] - [(z-1)(-1)(1) + (y-3)(1)(1) + (x)(0)(-2)] = 0$$ $$-x + 0 - 2z + 2 - [-z + 1 + y - 3] = 0$$ $$-x - 2z + 2 + z - 1 - y + 3 = 0$$ $$-x - y - z + 4 = 0$$ Multiplicando por $-1$ para obtener una expresión más usual: $$x + y + z - 4 = 0$$ 💡 **Tip:** También podrías haber hallado el vector normal de $\pi'$ mediante el producto vectorial $\vec{n_{\pi'}} = \vec{u} \times \vec{w}$. ✅ **Resultado (Ecuación del plano):** $$\boxed{x + y + z - 4 = 0}$$