Área entre curvas con parámetro

**a) Encuentre, en función del parámetro $a$, los puntos de corte entre las dos curvas $y = f(x)$ e $y = g(x)$ y haga un esbozo de la región limitada por las dos gráficas.** Para encontrar los puntos de corte entre $f(x) = x^3$ y $g(x) = a x^2$, igualamos ambas funciones: $$f(x) = g(x) \implies x^3 = a x^2$$ Llevamos todos los términos a un lado de la ecuación para factorizar: $$x^3 - a x^2 = 0$$ $$x^2(x - a) = 0$$ Las soluciones son: 1. $x^2 = 0 \implies x_1 = 0$ 2. $x - a = 0 \implies x_2 = a$ Calculamos las ordenadas correspondientes sustituyendo en cualquiera de las funciones: - Para $x_1 = 0 \implies y_1 = 0^3 = 0$. Punto: $(0, 0)$ - Para $x_2 = a \implies y_2 = a^3$. Punto: $(a, a^3)$ 💡 **Tip:** Para hallar puntos de intersección de dos curvas, siempre igualamos sus expresiones y resolvemos la ecuación resultante. ✅ **Resultado (puntos de corte):** $$\boxed{(0, 0) \text{ y } (a, a^3)}$$

Para realizar el esbozo, debemos tener en cuenta que $a > 0$. - $f(x) = x^3$ es una función cúbica que pasa por el origen. - $g(x) = a x^2$ es una parábola convexa (abre hacia arriba) que también pasa por el origen. En el intervalo $(0, a)$, comprobamos cuál de las dos funciones queda por encima. Tomamos un punto intermedio, por ejemplo $x = \frac{a}{2}$: - $f\left(\frac{a}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}\right)^3 = \frac{a^3}{8}$ - $g\left(\frac{a}{2}\right) = a \cdot \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a \cdot \frac{a^2}{4} = \frac{a^3}{4}$ Como $\frac{a^3}{4} \gt \frac{a^3}{8}$, entonces **$g(x) \ge f(x)$** en el intervalo $[0, a]$. El gráfico muestra la región encerrada entre $x=0$ y $x=a$ donde la parábola está por encima de la cúbica.

**b) Calcule el valor de $a$ para que el área comprendida entre $y = f(x)$ e $y = g(x)$ sea $\frac{27}{4} u^2$.** El área $A$ se define como la integral de la diferencia entre la función superior y la inferior en el intervalo de corte: $$A = \int_{0}^{a} (g(x) - f(x)) \, dx = \int_{0}^{a} (ax^2 - x^3) \, dx$$ Calculamos la primitiva: $$\int (ax^2 - x^3) \, dx = a \cdot \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}$$ 💡 **Tip:** El área entre dos curvas siempre es $\int_{x_1}^{x_2} [f_{superior}(x) - f_{inferior}(x)] dx$. Es fundamental identificar correctamente los límites de integración.

Aplicamos la regla de Barrow entre los límites $0$ y $a$: $$A = \left[ \frac{ax^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{a}$$ $$A = \left( \frac{a \cdot a^3}{3} - \frac{a^4}{4} \right) - \left( \frac{a \cdot 0^3}{3} - \frac{0^4}{4} \right)$$ $$A = \frac{a^4}{3} - \frac{a^4}{4} = \frac{4a^4 - 3a^4}{12} = \frac{a^4}{12}$$ El enunciado nos indica que el área es $\frac{27}{4}$, por lo tanto igualamos: $$\frac{a^4}{12} = \frac{27}{4}$$ Multiplicamos por $12$ en ambos lados: $$a^4 = \frac{27 \cdot 12}{4} = 27 \cdot 3 = 81$$ Para hallar $a$, calculamos la raíz cuarta: $$a = \sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$$ Como el enunciado especifica que $a$ es un número real positivo, descartamos la solución negativa. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 3}$$