Continuidad y áreas en diseño de azulejos

**a) Justifique que, efectivamente, esta función permite juntar los azulejos de manera continua y derivable.** Para que el dibujo sea continuo al colocar los azulejos uno al lado del otro (en el eje horizontal), el valor de la función al final del intervalo ($x=2$) debe coincidir con el valor al principio ($x=0$). Calculamos los valores de $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1$ en los extremos: - Para $x = 0$: $$f(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 2(0) + 1 = 1$$ - Para $x = 2$: $$f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 2(2) + 1 = 8 - 12 + 4 + 1 = 1$$ Como $f(0) = f(2) = 1$, los puntos de la curva en los bordes izquierdo y derecho del azulejo están a la misma altura, lo que garantiza la **continuidad** del dibujo al repetir el patrón. 💡 **Tip:** En problemas de diseño periódico, la continuidad requiere que $f(x_{inicio}) = f(x_{fin})$.

Para que la transición sea suave (derivable) y no presente picos o esquinas al juntar los azulejos, las pendientes en los puntos de unión deben coincidir. Calculamos la derivada de la función: $$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$$ Evaluamos la pendiente en los extremos: - En $x = 0$: $$f'(0) = 3(0)^2 - 6(0) + 2 = 2$$ - En $x = 2$: $$f'(2) = 3(2)^2 - 6(2) + 2 = 12 - 12 + 2 = 2$$ Como $f'(0) = f'(2) = 2$, las pendientes coinciden. Al ser iguales los valores de la función y de su derivada en los extremos del intervalo $[0, 2]$, el dibujo resultante al colocar azulejos adyacentes es **continuo y derivable**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(0)=f(2)=1 \text{ y } f'(0)=f'(2)=2}$$

**b) Justifique que esta función divide el cuadrado citado en dos partes que tienen la misma superficie.** Primero, identificamos las dimensiones del cuadrado en la unidad de medida indicada (decímetros). Dado que el lado es de $20$ cm y $1$ dm $= 10$ cm, el lado mide **$2$ dm**. El cuadrado está delimitado por $x \in [0, 2]$ e $y \in [0, 2]$. El área total del azulejo ($A_T$) es: $$A_T = \text{lado} \times \text{lado} = 2 \times 2 = 4 \text{ dm}^2$$ Para que las dos partes tengan la misma superficie, el área bajo la curva $f(x)$ debe ser exactamente la mitad del área total, es decir, $2$ dm².

Calculamos el área bajo la función $f(x)$ en el intervalo $[0, 2]$ mediante la integral definida. Llamaremos $A_1$ a esta superficie: $$A_1 = \int_{0}^{2} (x^3 - 3x^2 + 2x + 1) \, dx$$ Calculamos la primitiva: $$F(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{3x^3}{3} + \frac{2x^2}{2} + x = \frac{x^4}{4} - x^3 + x^2 + x$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$A_1 = \left[ \frac{x^4}{4} - x^3 + x^2 + x \right]_{0}^{2}$$ $$A_1 = \left( \frac{2^4}{4} - 2^3 + 2^2 + 2 \right) - (0)$$ $$A_1 = \left( \frac{16}{4} - 8 + 4 + 2 \right) = 4 - 8 + 4 + 2 = 2 \text{ dm}^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área entre una función positiva y el eje X se calcula directamente con la integral definida.

Si el área de la parte inferior es $A_1 = 2 \text{ dm}^2$, el área de la parte superior ($A_2$) será la diferencia entre el área total del cuadrado y $A_1$: $$A_2 = A_T - A_1 = 4 - 2 = 2 \text{ dm}^2$$ Como $A_1 = A_2 = 2 \text{ dm}^2$, queda justificado que la función divide el azulejo en dos partes de **igual superficie**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A_1 = A_2 = 2 \text{ dm}^2}$$