Posición relativa de dos rectas y ecuación del plano paralelo

**a) Estudie la posición relativa de las rectas $r$ y $s$.** Primero, extraemos los elementos característicos de cada recta: - Para la recta **$r$**, dada en forma continua $\frac{x-x_0}{v_x} = \frac{y-y_0}{v_y} = \frac{z-z_0}{v_z}$: - Punto $P_r = (1, 3, 0)$ - Vector director $\vec{v_r} = (2, -2, 1)$ - Para la recta **$s$**, el enunciado nos da directamente: - Punto $P_s = (2, -5, 1)$ - Vector director $\vec{v_s} = (-1, 0, -1)$ 💡 **Tip:** En la ecuación continua $\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c}$, el vector director es $(a, b, c)$ y el punto es $(x_0, y_0, z_0)$. ¡Ojo con los signos!

Comprobamos si los vectores directores $\vec{v_r}$ y $\vec{v_s}$ son paralelos analizando si sus coordenadas son proporcionales: $$\frac{2}{-1} \neq \frac{-2}{0} \neq \frac{1}{-1}$$ Como no existe una constante $k$ tal que $\vec{v_r} = k \cdot \vec{v_s}$, los vectores son linealmente independientes. Esto significa que las rectas **no son paralelas ni coincidentes**. Por tanto, las rectas o bien se cortan en un punto, o bien se cruzan en el espacio. $$\boxed{\text{Las rectas no son paralelas}}$$

Para distinguir si se cortan o se cruzan, formamos el vector que une un punto de cada recta: $$\vec{P_r P_s} = (2-1, -5-3, 1-0) = (1, -8, 1)$$ Ahora calculamos el determinante de la matriz formada por los tres vectores $\{\vec{v_r}, \vec{v_s}, \vec{P_r P_s}\}$: $$\det(\vec{v_r}, \vec{v_s}, \vec{P_r P_s}) = \begin{vmatrix} 2 & -2 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \\ 1 & -8 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por la regla de Sarrus: $$\text{Det} = [ (2 \cdot 0 \cdot 1) + (-2 \cdot -1 \cdot 1) + (1 \cdot -1 \cdot -8) ] - [ (1 \cdot 0 \cdot 1) + (2 \cdot -1 \cdot -8) + (-2 \cdot -1 \cdot 1) ]$$ $$\text{Det} = [ 0 + 2 + 8 ] - [ 0 + 16 + 2 ] = 10 - 18 = -8$$ Como el determinante es **distinto de cero** ($\text{Det} \neq 0$), los tres vectores son linealmente independientes, lo que implica que las rectas están en planos diferentes. 💡 **Tip:** Si el determinante fuera 0, las rectas se cortarían en un punto (serían coplanarias). ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cruzan}}$$

**b) Calcule la ecuación general del plano que es paralelo a la recta $r$ y contiene la recta $s$.** Un plano $\pi$ queda determinado por un punto y dos vectores directores linealmente independientes. Si el plano contiene a la recta $s$: - Debe contener el punto de $s$: $P_s = (2, -5, 1)$. - Debe tener como vector director el de $s$: $\vec{v_s} = (-1, 0, -1)$. Si el plano es paralelo a la recta $r$: - Debe tener como segundo vector director el de $r$: $\vec{v_r} = (2, -2, 1)$. El vector normal al plano $\vec{n}$ se obtiene mediante el producto vectorial $\vec{v_r} \times \vec{v_s}$: $$\vec{n} = \vec{v_r} \times \vec{v_s} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -2 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante: $$\vec{i} \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ -1 & 0 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n} = (2-0)\vec{i} - (-2 - (-1))\vec{j} + (0 - 2)\vec{k} = 2\vec{i} + 1\vec{j} - 2\vec{k}$$ $$\vec{n} = (2, 1, -2)$$ 💡 **Tip:** El vector normal $(A, B, C)$ nos da los coeficientes de la ecuación general del plano $Ax + By + Cz + D = 0$.

La ecuación del plano tendrá la forma: $$2x + y - 2z + D = 0$$ Como el plano contiene a la recta $s$, debe pasar por su punto $P_s = (2, -5, 1)$. Sustituimos las coordenadas del punto en la ecuación para hallar $D$: $$2(2) + 1(-5) - 2(1) + D = 0$$ $$4 - 5 - 2 + D = 0$$ $$-3 + D = 0 \implies D = 3$$ Sustituyendo $D$, obtenemos la ecuación general. ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{2x + y - 2z + 3 = 0}$$