Estudio de extremos relativos e integración definida

**a) Calcule las coordenadas del punto de la curva $y = f(x)$ en que la recta tangente a la curva en ese punto es horizontal. Estudie si este punto es un extremo relativo y clasifíquelo.** Para que la recta tangente sea horizontal, la pendiente de la misma debe ser cero. Como la pendiente es el valor de la derivada en el punto, buscamos los valores de $x$ tales que $f'(x) = 0$. La función es $f(x) = \dfrac{\ln(x)}{x}$. Aplicamos la regla de la derivada de un cociente: $$f'(x) = \frac{(\ln x)' \cdot x - \ln x \cdot (x)'}{x^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$$ Igualamos la derivada a cero: $$\frac{1 - \ln x}{x^2} = 0 \implies 1 - \ln x = 0 \implies \ln x = 1 \implies x = e$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla del cociente: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. En este caso, $u = \ln x$ y $v = x$.

Calculamos la ordenada del punto sustituyendo $x = e$ en la función original: $$y = f(e) = \frac{\ln(e)}{e} = \frac{1}{e}$$ El punto donde la tangente es horizontal es **$P\left(e, \frac{1}{e}\right)$**. Para clasificar este extremo relativo, estudiamos el signo de $f'(x)$ alrededor de $x = e$. El denominador $x^2$ siempre es positivo para $x > 0$, por lo que el signo de la derivada depende solo del numerador $1 - \ln x$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, e) & e & (e, +\infty) \\\hline f'(x) & + & 0 & - \\\hline f(x) & \text{Creciente} (\nearrow) & \text{Máximo} & \text{Decreciente} (\searrow) \end{array}$$ - Si $x \in (0, e) \implies \ln x < 1 \implies 1 - \ln x > 0$. La función crece. - Si $x \in (e, +\infty) \implies \ln x > 1 \implies 1 - \ln x < 0$. La función decrece. Al pasar de creciente a decreciente, el punto es un **máximo relativo**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P\left(e, \dfrac{1}{e}\right) \text{ es un máximo relativo}}$$

**b) Calcule el área del recinto delimitado por la curva $y = f(x)$, las rectas verticales $x = 1$ y $x = e$ y el eje de abscisas.** El área viene dada por la integral definida de la función entre los límites $x = 1$ y $x = e$. Primero comprobamos si la función cambia de signo en el intervalo $[1, e]$. Como $f(x) = \frac{\ln x}{x}$ y para $x \in [1, e]$ se cumple que $\ln x \ge 0$ y $x > 0$, entonces $f(x) \ge 0$ en todo el intervalo. El área es: $$A = \int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x} \, dx$$ Esta es una integral casi inmediata de tipo potencial, ya que $\frac{1}{x}$ es la derivada de $\ln x$: $$\int \frac{\ln x}{x} \, dx = \int (\ln x)^1 \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{(\ln x)^2}{2} + C$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int f(x)^n \cdot f'(x) \, dx = \frac{f(x)^{n+1}}{n+1}$.

Aplicamos la regla de Barrow para calcular la integral definida entre $1$ y $e$: $$A = \left[ \frac{(\ln x)^2}{2} \right]_{1}^{e}$$ $$A = \frac{(\ln e)^2}{2} - \frac{(\ln 1)^2}{2}$$ Como $\ln e = 1$ y $\ln 1 = 0$: $$A = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2} \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{1}{2} = 0,5 \text{ u}^2}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "y=\\frac{\\ln x}{x}", "color": "#2563eb" }, { "id": "line1", "latex": "x=1", "color": "#ef4444", "lineStyle": "DASHED" }, { "id": "line2", "latex": "x=e", "color": "#ef4444", "lineStyle": "DASHED" }, { "id": "area", "latex": "0 \\le y \\le \\frac{\\ln x}{x} \\{1 \\le x \\le e\\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": -1, "right": 5, "bottom": -0.5, "top": 1 } } }