Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**a) Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro $a$.** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A'$ asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}; \quad A' = \left(\begin{array}{ccc|c} a & 1 & 0 & a \\ 1 & a & 1 & 5 \\ 1 & 2 & 1 & 5 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema según el Teorema de Rouché-Capelli, calcularemos el determinante de la matriz $A$ y buscaremos los valores de $a$ que lo anulan. 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Capelli nos dice que si $rg(A) = rg(A') = n$ (nº incógnitas), el sistema es compatible determinado; si son iguales pero menores que $n$, es indeterminado; y si son distintos, es incompatible.

Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} a & 1 & 0 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = (a \cdot a \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot 1) + (0 \cdot 1 \cdot 2) - (0 \cdot a \cdot 1) - (1 \cdot 1 \cdot 1) - (a \cdot 1 \cdot 2)$$ $$|A| = a^2 + 1 + 0 - 0 - 1 - 2a = a^2 - 2a$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$a^2 - 2a = 0 \implies a(a - 2) = 0$$ Esto nos da dos soluciones: **$a = 0$** y **$a = 2$**. $$\boxed{|A| = a(a-2)}$$

Si $a \neq 0$ y $a \neq 2$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que el rango de la matriz de coeficientes es el máximo posible: $$rg(A) = 3$$ Como la matriz ampliada $A'$ contiene a $A$ y solo tiene 3 filas, su rango también debe ser 3: $$rg(A') = 3$$ Al coincidir con el número de incógnitas ($n=3$): ✅ **Conclusión:** El sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, con una única solución.

Si $a = 0$, la matriz ampliada es: $$A' = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 5 \\ 1 & 2 & 1 & 5 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $rg(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \neq 0 \implies rg(A) = 2$$ Ahora estudiamos el rango de $A'$ comprobando si el determinante que incluye la columna de términos independientes es nulo: $$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 5 \\ 1 & 2 & 5 \end{vmatrix} = 0 + 5 + 0 - (0 + 0 + 5) = 0$$ En este caso, se observa que la tercera fila es combinación lineal de las otras dos: $F_3 = F_2 + 2F_1$ ($1 = 1+0, 2 = 0+2, 1 = 1+0, 5 = 5+0$). Por tanto, $rg(A') = 2$. ✅ **Conclusión:** Como $rg(A) = rg(A') = 2 < 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**.

Si $a = 2$, la matriz ampliada es: $$A' = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 1 & 5 \\ 1 & 2 & 1 & 5 \end{array}\right)$$ Observamos directamente que las filas 2 y 3 son idénticas ($F_2 = F_3$). Por tanto, podemos eliminar una de ellas para el estudio del rango. En la matriz de coeficientes $A$, existe un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 4 - 1 = 3 \neq 0 \implies rg(A) = 2$$ Como la fila 3 de la matriz ampliada también es igual a la fila 2, el rango de la ampliada no puede ser 3: $$rg(A') = 2$$ ✅ **Conclusión:** Como $rg(A) = rg(A') = 2 < 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. **Resumen de la discusión:** $$\boxed{\begin{cases} a \neq 0, a \neq 2 \implies \text{SCD} \\ a = 0 \implies \text{SCI} \\ a = 2 \implies \text{SCI} \end{cases}}$$

**b) Resuelva el sistema para el caso $a = 2$.** Como hemos visto en el apartado anterior, para $a=2$ el sistema es compatible indeterminado y la tercera ecuación es redundante. El sistema queda: $$\begin{cases} 2x + y = 2 \\ x + 2y + z = 5 \end{cases}$$ Como el rango es 2, necesitamos un parámetro. Tomamos **$x = \lambda$**. 1. De la primera ecuación despejamos $y$: $$y = 2 - 2x = 2 - 2\lambda$$ 2. Sustituimos $x$ e $y$ en la segunda ecuación para hallar $z$: $$x + 2y + z = 5 \implies \lambda + 2(2 - 2\lambda) + z = 5$$ $$\lambda + 4 - 4\lambda + z = 5$$ $$-3\lambda + z = 1 \implies z = 1 + 3\lambda$$ 💡 **Tip:** Al resolver un SCI, el número de parámetros libres es $n - rg(A)$. En este caso $3 - 2 = 1$ parámetro. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{cases} x = \lambda \\ y = 2 - 2\lambda \\ z = 1 + 3\lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$